知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．关于x，y的一元二次方程组
2x+3y=1
x-2y=2
的系数矩阵．

难度：中等

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2．设矩阵M=
a0
0b
（其中a＞0，b＞0），若曲线C：x²+y²=1在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C′ ：
x2
4
+y2=1，求a+b的值．

难度：较难

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3．选修：4-2：矩阵与变换
若圆C：x²+y²=1在矩阵A=
a，0
0，b
（a＞0，b＞0）对应的变换下变成椭圆E：
x2
4
+
y2
3
=1，求矩阵A的逆矩阵A^-1．

难度：中等

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4．选修4-2：矩阵与变换
已知直线l：ax+y=1在矩阵A=
1 2
0 1
对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1
（I）求实数a，b的值
（II）若点P（x₀，y₀）在直线l上，且A
x0
y

0
=
x0
y

0
，求点P的坐标．

难度：中等

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5．已知矩阵A=[
x 3
2 y
]，α=[
4
-1
]，且Aα=[
9
4
]．
（1）求实数x，y的值；
（2）求A的特征值λ₁，λ₂（λ₁＞λ₂）及对应的特征向量
α1
，
α2
；
（3）计算A²⁰α．

难度：中等

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6．选修4-2：矩阵及其变换
（1）如图，向量
OA
和
OB
被矩阵M作用后分别变成
OA′
和
OB′
，
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）并求y=sin(x+
π
3
)在M作用后的函数解析式；
选修4-4：坐标系与参数方程
（ 2）在直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为
x=3-
2
2
t
y=
5
+
2
2
t
（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系x0y取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2
5
sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B．若点P的坐标为（3，
5
），求|PA|+|PB|．
选修4-5：不等式选讲
（3）已知x，y，z为正实数，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x，y，z的值．

难度：较难

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7．在平面直角坐标系xOy中，先对曲线C作矩阵A=
cosθ -sinθ
sinθ cosθ
（0＜θ＜2π）所对应的变换，再将所得曲线作矩阵B=
1 0
0 k
（0＜k＜1）所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为
0 -1
1
2
0
，求k，θ的值．

难度：较易

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8．设3阶方阵A的伴随矩阵为A^*，且|A|=
1
2
，求|（3A）^-1-2A^*|．

难度：较易

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9．我们用a_ij（1≤i≤n，1≤j≤n，i，j，n∈N^*）表示矩阵的第i行第j列元素，已知该矩阵的每一行每一列都是等差数列，并且a₁₁=1，a₁₂=a₂₁=2，a₂₂=4．
（1）求a₅₄．
（2）求a_ij关于i，j的关系式；
（3）设行列式
.
a23 a24 a25
a33 a34 a35
a43 a44 a45
.
=D，求证：对任意1≤i，j≤n-2，i，j，n∈N^*时，都有
.
aij ai(j+1) ai(j+2)
a(i+1)j a(i+1)(j+1) a(i+1)(j+2)
a(i+2)j a(i+2)(j+1) a(i+2)(j+2)
.
=D．

难度：中等

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10．已知矩阵A=
0
1
3
1-
2
3
，点M（-1，1），N（0，2）．求线段MN在矩阵A^-1对应的变换作用下得到线段M′N′的长度．

难度：中等

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