知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知二阶矩阵M有特征值λ₁=4及属于特征值4的一个特征向量
e1
=
2
3
并有特征值λ₂=-1及属于特征值-1的一个特征向量
e2
=
1
-1
，
α
=
-1
1

（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求M⁵
α
．

难度：较难

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2．设矩阵A=
a b
c d
，矩阵A属于特征值λ₁=-1的一个特征向量为α₁=
1
-1
，属于特征值λ₂=4的一个特征向量为α₂=
3
2
，求ad-bc的值．

难度：中等

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3．已知矩阵，A=
1
1
，向量
β
=
2
1
，求向量
α
，使得A²
α
=
β
．

难度：较难

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4．已知矩阵A=
a -1
b 0
的一个特征值λ=2，其对应的一个特征向量
a
=
1
1
．
（Ⅰ）试求矩阵A^-1；
（Ⅱ）求曲线2x-y+1=0经过A^-1所对应的变换作用下得到的曲线方程．

难度：较难

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5．已知矩阵M=
2 a
2 b
的两个特征值分别为λ₁=-1和λ₂=4．
（1）求实数a，b的值；
（2）求直线x-2y-3=0在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程．

难度：中等

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6．在平面直角坐标系xOy中，线性变换σ将点（1，0）变换为（1，0），将点（0，1）变换为（1，2）．
（Ⅰ）试写出线性变换σ对应的二阶矩阵A；
（Ⅱ）求矩阵A的特征值及属于相应特征值的一个特征向量．

难度：较难

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7．已知矩阵A=
a k
0 1
（k≠0）的一个特征向量为
a
=
k
-1
，矩阵A的逆矩阵A^-1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．
（1）求实数a，k的值；
（2）求直线x+2y+1=0在矩阵A的对应变换下得到的图形方程．

难度：中等

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8．已知矩阵A=
1 a
-1 b
，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是
a1
=
2
1

（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）若向量
β
=
7
4
，计算A⁴
β
的值．

难度：中等

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9．已知二阶矩阵A属于特征值-1的一个特征向量为
-1

3
，属于特征值7的一个特征向量为
1

1

①求矩阵A；
②若方程满足 AX=
7
14
，求X．

难度：中等

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10．已知
e1
=
1
1
是矩阵M=
a 1
0 b
属于特征值λ₁=2的一个特征向量．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）若a=
2
1
，求M¹⁰a．

难度：较难

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