知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵M=
1 b
c 2
有特征值λ₁=4及对应的一个特征向量
e1
=
2
3
．求矩阵M及另一个特征值λ₂和特征向量
e2
．

难度：中等

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2．设已知T时矩阵
a c
b 0
所对应的变换（其中b＞0），A（1，0），且T（A）=P，若△POA的面积为
3
，∠POA=
π
3
，则a+b= ．

难度：中等

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3．把实数a，b，c，d排成
a c
b d
的形式，称为二行二列矩阵．对于点P（x，y），定义矩阵的一种运算(x，y)
a c
b d
=(ax+by，cx+dy)，并称（ax+by，cx+dy）为点P在矩阵
a c
b d
作用下的点．给出下列命题：
①点P（3，4）在矩阵
1 2
0 1
作用下的点为（3，10）；
②曲线y=x²上的点在矩阵
1 0
0 1
的作用下将满足方程y=-x²；
③方程组
a11x+a12y=b1
a21x+a22y=b2
可表示成矩阵运算（x，y）
a11 a12
a21 a22
=（b₁，b₂）；
④若曲线x²+4xy+2y²=1在
1 a
b 1
作用下变换成曲线x²-2y²=1，则a+b=2．
其中真命题的序号为．（填上所有真命题的序号）

难度：较难

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4．已知直线l：ax-y=0在矩阵A=[
0 1
1 2
]对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点（1，1），求实数a的值．

难度：较难

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5．已知二元一次方程组
x+y=6
-x+y=1
，则D_y的值是．

难度：中等

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6．已知二阶矩阵M属于特征值一1的一个特征向量为
1
-2
，属于特征值2的一个特征向量为
1
1
，求矩阵M及其逆矩阵M^-1．

难度：中等

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7．（1）将形如
.
а11 а12
а21 а22
.
的符号称二阶行列式，现规定
.
а11 а12
а21 а22
.
=a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁．
试计算二阶行列式
.
cos
π
4
1
1 cos
π
3
.
的值；
（2）已知tan（
π
4
+a）=-
1
2
，求
sin2a-2cos2a
1+tana
．

难度：较易

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8．在直角坐标系中，已知椭圆x²+4y²=1，矩阵阵M=[
0 1
1 0
]，N=[
0 2
1 0
]，求在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积．

难度：较难

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9．若复数z满足
.
1 z
-2 zi
.
=3-i（i是虚数单位），则|
.
z
|= ．

难度：中等

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10．如果a，b，c，d是公比为q的等比数列中的相邻四项，
（1）求|
a c
b d
|的值；
（2）根据公比q的取值，讨论方程组
ax+cy=1
bx+dy=-2
的解的情况．

难度：中等

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