知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知曲线\(C\)的极坐标方程是\(ρ-4\sin θ=0.\)以极点为原点，极轴为\(x\)轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线\(l\)过点\(M(1,0)\)，倾斜角为\( \dfrac {3π}{4}\)．
\((1)\)求曲线\(C\)的直角坐标方程与直线\(l\)的参数方程；
\((2)\)设直线\(l\)与曲线\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，求\(|MA|+|MB|\)．

难度：较易

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2．
在直角坐标系\(xOy\)的原点，以坐标原点为极点，\(x\)轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线\(C_{1}\)的极坐标方程为\(ρ= \dfrac {2\cos θ}{\sin ^{2}\theta }\)，\(C_{2}\)的参数方程为\( \begin{cases} x=2- \dfrac { \sqrt {2}}{2}t \\ y=2+ \dfrac { \sqrt {2}}{2}t\end{cases}(t\)为参数\()\)．
\((\)Ⅰ\()\)将曲线\(C_{1}\)与\(C_{2}\)的方程化为直角坐标系下的普通方程；
\((\)Ⅱ\()\)若\(C_{1}\)与\(C_{2}\)相交于\(A\)、\(B\)两点，求\(|AB|\)．

难度：较易

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3．
在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C\)的参数方程为\( \begin{cases} \overset{x=2t^{2}-1}{y=2t-1}\end{cases}(t\)为参数\().\)以直角坐标系的原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线\(l\)的极坐标方程为\(ρ(2\sin θ-\cos θ)=m\)．
\((1)\)求曲线\(C\)的普通方程；
\((2)\)若\(l\)与曲线\(C\)相切，且\(l\)与坐标轴交于\(A\)，\(B\)两点，求以\(AB\)为直径的圆的直角坐标方程．

难度：较易

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4．
选修\(4-4\)；坐标系与参数方程
已知曲线\(C_{1}\)的参数方程是\( \begin{cases} \overset{x=2\cos \phi }{y=3\sin \phi }\end{cases}(φ\)为参数\()\)，以坐标原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线\(C_{2}\)的坐标系方程是\(ρ=2\)，正方形\(ABCD\)的顶点都在\(C_{2}\)上，且\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)依逆时针次序排列，点\(A\)的极坐标为\((2, \dfrac {π}{3}).\)
\((1)\)求点\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)的直角坐标；
\((2)\)设\(P\)为\(C_{1}\)上任意一点，求\(|PA|^{2}+|PB|^{2}+|PC|^{2}+|PD|^{2}\)的取值范围．

难度：较难

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5．
已知在极坐标系中曲线\(C_{1}\)的极坐标方程为：\(ρ=4\cos θ\)，以极点为坐标原点，以极轴为\(x\)轴的正半轴建立直角坐标系，曲线\(C_{2}\)的参数方程为：\( \begin{cases} x=3- \dfrac {1}{2}t \\ y= \dfrac { \sqrt {3}}{2}t\end{cases}(t\)为参数\()\)，点\(A(3,0)\)．
\((1)\)求出曲线\(C_{1}\)的直角坐标方程和曲线\(C_{2}\)的普通方程；
\((2)\)设曲线\(C_{1}\)与曲线\(C_{2}\)相交于\(P\)，\(Q\)两点，求\(|AP|⋅|AQ|\)的值．

难度：较难

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6．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C\)的参数方程为\( \begin{cases} x= \sqrt {3}\cos θ \\ y=\sin θ\end{cases}\)以\(O\)为极点，\(x\)轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线\(l\)的极坐标方程为\(θ= \dfrac {π}{3}(ρ∈R)\)．
\((1)\)写出曲线\(C\)的普通方程及直线\(l\)的直角坐标方程；
\((2)\)过点\(M\)且平行于直线\(l\)的直线与曲线\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，若\(|MA|⋅|MB|=2\)，证明点\(M\)在一个椭圆上．

难度：较易

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7．
在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C_{1}\)：\( \begin{cases} \overset{x=t\cos \alpha }{y=t\sin \alpha }\end{cases}(t\)为参数，\(t\neq 0)\)，其中\(0\leqslant α\leqslant π\)，在以\(O\)为极点，\(x\)轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线\(C_{2}\)：\(ρ=2\sin θ\)，\(C_{3}\)：\(ρ=2 \sqrt {3}\cos θ\)．
\((1)\)求\(C_{2}\)与\(C_{3}\)交点的直角坐标；
\((2)\)若\(C_{1}\)与\(C_{2}\)相交于点\(A\)，\(C_{1}\)与\(C_{3}\)相交于点\(B\)，求\(|AB|\)的最大值．

难度：中等

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8．
设直线\(l\)的参数方程为\( \begin{cases} x=1+ \dfrac {1}{2}t \\ y=t+1\end{cases}\)，\((t\)为参数\()\)，若以直角坐标系\(xOy\)的原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程为\(ρ\sin ^{2}θ=4\cos θ\)．
\((\)Ⅰ\()\)将曲线\(C\)的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线\(C\)是什么曲线；
\((\)Ⅱ\()\)若直线\(l\)与曲线\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，求\(|AB|\)．

难度：较易

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9．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C_{1}： \begin{cases} \overset{x=2\cos \alpha \;}{y=\sin \alpha }\end{cases}\)，\((α\)为参数\()\)，以坐标原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线\(C_{2}\)的极坐标方程为\(ρ=-2\sin θ\)．
\((1)\)求曲线\(C_{1}\)的普通方程和曲线\(C_{2}\)的普通方程；
\((2)\)若\(P\)，\(Q\)分别为曲线\(C_{1}\)，\(C_{2}\)上的动点，求\(|PQ|\)的最大值．

难度：较易

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10．
在直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)的参数方程为\( \begin{cases} \overset{x=5+t\cos \alpha }{y=t\sin \alpha }\end{cases}\)，\((t\)为参数，\(0\leqslant α < π).\)以平面直角坐标系的原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线\(C\)的极坐标方程是\(ρ=4\cos θ\)．
\((\)Ⅰ\()\)当\(α=45^{\circ}\)时，求直线\(l\)的普通方程与曲线\(C\)的直角坐标方程；
\((\)Ⅱ\()\)已知点\(C\)的直角坐标为\(C(2,0)\)，直线\(l\)与曲线\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，当\(\triangle ABC\)面积最大时，求直线\(l\)的普通方程．

难度：较易

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