知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D-1%2B3t%7D%7By%3D2-4t%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数），它与曲线C：（y-2）²-x²=1交于A、B两点．
（1）求|AB|的长；
（2）求点P（-1，2）到线段AB中点C的距离．

难度：较易

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2．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C： $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D4cos%CE%B8%20%5C%5C%20y%3D3sin%CE%B8%5Cend%7Bcases%7D$ （θ为参数，θ∈R），直线l： $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D3%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7Dt%20%5C%5C%20y%3D-3%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7Dt%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数，t∈R），求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．

难度：较易

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3．坐标系与参数方程选讲．
已知曲线C： $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3Dcos%5Ctheta%20%7D%7By%3Dsin%5Ctheta%20%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （θ为参数）．
（1）将C参数方程化为普通方程；
（2）若把C上各点的坐标经过伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%27%3D3x%7D%7By%27%3D2y%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 后得到曲线C^′，求曲线C^′上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值．

难度：中等

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4．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D2-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dt%20%5C%5C%20y%3D1%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7Dt%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数）．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%E2%80%B2%3Dx%20%5C%5C%20y%E2%80%B2%3D2y%5Cend%7Bcases%7D$ 得到曲线C′，曲线C′上任一点为M（x₀，y₀），求 $%20%5Csqrt%20%7B3%7Dx_%7B0%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dy_%7B0%7D$ 的取值范围．

难度：较易

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5．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D2%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dt%7D%7By%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7Dt%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（1）把直线l的参数方程化为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；
（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

难度：中等

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6．在直角坐标系xOy中，圆C₁和C₂的参数方程分别是 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D2%2B2cos%5Cphi%20%7D%7By%3D2sin%5Cphi%20%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （ϕ为参数）和 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3Dcos%5Cbeta%20%7D%7By%3D1%2Bsin%5Cbeta%20%7D%5Cend%7Bcases%7D$ （β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C₁和C₂的极坐标方程；
（2）射线OM：θ=α与圆C₁的交点分别为O、P，与圆C₂的交点分别为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．

难度：较易

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7．已知曲线C₁的极坐标方程是ρ=1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C₁所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C₂．
（Ⅰ）求曲线C₂的参数方程；
（Ⅱ）直线l过点M（1，0），倾斜角为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ，与曲线C₂交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．

难度：较易

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8．在直角坐标系中，圆C₁：x²+y²=1经过伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%27%3D3x%7D%7By%27%3D2y%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 后得到曲线C₂以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ= $%20%5Cfrac%20%7B10%7D%7B%5Crho%20%7D$
（1）求曲线C₂的直角坐标方程及直线l的直角坐标方程；
（2）在C₂上求一点M，使点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．

难度：较易

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9．将单位圆经过伸缩变换：φ： $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%E2%80%B2%3D%CE%BBx%20%5C%5C%20y%E2%80%B2%3D%CE%BCy%5Cend%7Bcases%7D$ （λ＞0，μ＞0）得到曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D$ =1
（1）求实数λ，μ的值；
（2）以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，将曲线C 上任意一点到极点的距离ρ（ρ≥0）表示为对应极角θ（0≤θ＜2π）的函数，并探求θ为何值时，ρ取得最小值？

难度：中等

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10．
【题文】已知直线l经过点，倾斜角α＝，圆C的极坐标方程为.
(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；
(2)设l与圆C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．

难度：较难

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