知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
曲线$C$的参数方程为，$ \begin{cases} x=1+ \sqrt {3}t \\ y= \sqrt {3}-t\end{cases}(t$为参数$)$，则此曲线的极坐标方程为 ______ ．

难度：难

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2．
在平面直角坐标系$xOy$中，曲线$C_{1}$过点$P(a,1)$，其参数方程为$\begin{cases} x=a+ \sqrt{2}t \\ y=1+ \sqrt{2}t \end{cases}(t$为参数，$a∈R).$以$O$为极点，$x$轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线$C_{2}$的极坐标方程为$ρ\cos ^{2}θ+4\cos θ-ρ=0$．

$(1)$求曲线$C$${\,\!}_{1}$ 的普通方程和曲线$C$${\,\!}_{2}$ 的直角坐标方程；

$(2)$已知曲线$C$${\,\!}_{1}$与曲线$C$${\,\!}_{2}$交于$A$，$B$两点，且$|PA|=2|PB|$，求实数$a$的值．

难度：较难

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3．
在直角坐标系中，以原点为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立坐标系$.$已知曲线$C$：$ρ\sin ^{2}θ=2a\cos θ(a > 0)$，过点$P(-2,-4)$的直线$l$的参数方程为$ \begin{cases} x=-2+ \dfrac { \sqrt {2}}{2}t \\ y=-4+ \dfrac { \sqrt {2}}{2}t\end{cases}(t$为参数$)$，直线$l$与曲线$C$分别交于$M$、$N$两点．
$(1)$写出曲线$C$和直线$l$的普通方程；
$(2)$若$|PM|$，$|MN|$，$|PN|$成等比数列，求$a$的值．

难度：中等

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4．

在直角坐标系$xOy$中，曲线${C}_{1} $的参数方程为$\begin{cases}x=2\cos α \\ y= \dfrac{ \sqrt{3}}{3}\sin α\end{cases} (α $为参数$)$，将曲线${C}_{1} $上各点的横坐标都缩短为原来的$\dfrac{1}{2} $倍，纵坐标坐标都伸长为原来的$\sqrt{3} $倍，得到曲线${C}_{2} $，在极坐标系$($与直角坐标系$xOy$取相同的长度单位，且以原点$O$为极点，以$x$轴非负半轴为极轴$)$中，直线$l$的极坐标方程为$ρ\cos \left(θ+ \dfrac{π}{4}\right)=-2 \sqrt{2} $．

$(1)$求直线$l$和曲线${C}_{2} $的直角坐标方程；

$(2)$设点$Q$是曲线${C}_{2} $上的一个动点，求它到直线$l$的距离的最大值．

难度：较易

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5．

圆的方程是$ \begin{cases}x=1+2\cos θ \\ y=-2+2\sin θ\end{cases}(θ$为参数$)$，则这个圆的半径是$($　　$)$

A．$1$

B．$2$

C．$ \dfrac {1}{2}$

D．$ \sqrt {2}$

难度：较易

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6．
选修$4-4$：坐标系与参数方程
已知直线$l$的参数方程为$ \begin{cases}x=2+ \dfrac { \sqrt {2}}{2}t \\ y= \dfrac { \sqrt {2}}{2}t\end{cases}(t$为参数$)$，曲线$C$的参数方程为$ \begin{cases}x=4\cos θ \\ y=2 \sqrt {3}\sin θ\end{cases}(θ$为参数$)$，设直线$l$与曲线$C$交于$A$、$B$两点．
$(1)$求直线$l$与曲线$C$的普通方程；
$(2)$设$P(2,0)$，求$|PA|⋅|PB|$的值．

难度：难

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7．
在平面直角坐标系$xOy$中，直线$l$的参数方程是$\begin{cases} x{=}2{+}t\cos\alpha \\ y{=}t\sin\alpha \end{cases}\ (t$为参数$)$，以$O$为极点，$x$轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线$C$的极坐标方程为$\rho^{2}\cos^{2}\theta{+}2\rho^{2}\sin^{2}\theta{=}12$，且直线$l$与曲线$C$交于$P$，$Q$两点．

$(I)$ 求曲线$C$的直角坐标方程及直线$l$恒过的定点$A$的坐标；
$(II)$在$(I)$的条件下，若${|}{AP}{||}{AQ}{|=}6$，求直线$l$的普通方程．

难度：难

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8．已知圆$C1$的参数方程为$ \begin{cases}x=2\cos φ \\ y=2\sin φ\end{cases}(φ$为参数$)$，以坐标原点$O$为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆$C_{2}$的极坐标方程为$ρ=4\sin (θ+ \dfrac {π}{3}).$
$(1)$将圆$C_{1}$的参数方程化为普通方程，将圆$C_{2}$的极坐标方程化为直角坐标方程；
$(2)$圆$C_{1}$，$C_{2}$是否相交？若相交，请求出公共弦长，若不相交，请说明理由．

难度：较易

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9．在平面直角坐标系$xOy$中，直线$l$的参数方程为$\begin{cases} x{=}\dfrac{1}{2}t \\ y{=}m{+}\dfrac{\sqrt{3}}{2}t \end{cases}\ (t$为参数$)$，以坐标原点$O$为极点，$x$轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线$C$的极坐标方程为${ρ}^{2}−2ρ\cos ⁡θ−4=0 $
$(1)$若直线$l$与曲线$C$没有公共点，求$m$的取值范围；
$(2)$若$m{=}0$，求直线$l$被曲线$C$截得的弦长．

难度：中等

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10．在平面直角坐标系xOy中，圆C₁的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%3D2cos%5Calpha%20%7D%7By%3D2%2B2sin%5Calpha%20%7D%5Cend%7Bcases%7D$ ，（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C₂的极坐标方程为p=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ cos（ $%CE%B8%2B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ）．
（1）求圆C₁的普通方程和圆C₂的直角坐标方程；
（2）若圆C₁与圆C₂相交于点A，B，求弦AB的长．

难度：中等

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