知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
【选修$4-4$：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，以原点为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线$C:\rho {{\sin }^{2}}\theta =2a\cos \theta \left( a > 0 \right)$，已知过点$P\left( -2,-4 \right)$的直线$l$的参数方程为：$\begin{cases}x=-2+ \dfrac{ \sqrt{2}}{2}t \\ y=-4+ \dfrac{ \sqrt{2}}{2}t\end{cases}\left(t为参数\right) $，直线$l$与曲线$C$分别交于$M$，$N$两点．

$(1)$写出曲线$C$和直线$l$的普通方程；

$(2)$若$\left| PM \right|$，$\left| MN \right|$，$\left| PN \right|$成等比数列，求$a$的值．

难度：难

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2．
已知曲线${{C}_{1}}$的参数方程为$\begin{cases} & x=4+5\cos \alpha \\ & y=5+5\sin \alpha \end{cases}(\alpha $为参数$)$，以坐标原点为极点，$x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线${{C}_{2}}$的极坐标方程为$\rho =2\sin \theta $。

$(1)$把${{C}_{1}}$的参数方程化为极坐标方程；

$(2)$求${{C}_{1}}$与${{C}_{2}}$交点的极坐标$(\rho \geqslant 0,0\leqslant \theta < 2\pi )$。

难度：难

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3．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bx%27%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dx%7D%7By%27%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7Dy%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 后的图形．
（1）5x+2y=0
（2）x²+y²=1．

难度：较易

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4．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3D2-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dt%20%5C%5C%20y%3D1%2B%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7Dt%5Cend%7Bcases%7D$ （t为参数）．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%E2%80%B2%3Dx%20%5C%5C%20y%E2%80%B2%3D2y%5Cend%7Bcases%7D$ 得到曲线C′，曲线C′上任一点为M（x₀，y₀），求 $%20%5Csqrt%20%7B3%7Dx_%7B0%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dy_%7B0%7D$ 的取值范围．

难度：较易

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5．
坐标系与参数方程选讲．
已知曲线$C$：$ \begin{cases} \overset{x=\cos \theta }{y=\sin \theta }\end{cases}(θ$为参数$)$．
$(1)$将$C$参数方程化为普通方程；
$(2)$若把$C$上各点的坐标经过伸缩变换$ \begin{cases} \overset{x{{'}}=3x}{y{{'}}=2y}\end{cases}$后得到曲线$C^{′}$，求曲线$C^{′}$上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值．

难度：中等

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6．
在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换$ \begin{cases} \overset{x{{'}}= \dfrac {1}{2}x}{y{{'}}= \dfrac {1}{3}y}\end{cases}$后的图形．
$(1)5x+2y=0$
$(2)x^{2}+y^{2}=1$．

难度：较易

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7．

曲线${{C}_{1}}$的参数方程为$\begin{cases} & x=2\cos \alpha \\ & y=2+2\sin \alpha \\ \end{cases}(\alpha $为参数$)$，$M$是曲线${{C}_{1}}$上的动点，且$M$是线段$OP$的中点，$P$点的轨迹为曲线${{C}_{2}}$，直线$l$的极坐标方程为$\rho \sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}$，直线$l$与曲线${{C}_{2}}$交于$A,B$两点．

$(1)$求曲线${{C}_{2}}$的普通方程；$(2)$求线段$AB$的长$.$

难度：中等

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8．
在直角坐标平面内，直线$l$过点$P(1,1)$，且倾斜角$α= \dfrac{π}{3} .$以坐标原点$O$为极点，$x$轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆$C$的极坐标方程为$ρ=4\sin θ$．

$(1)$求圆$C$的直角坐标方程；

$(2)$设直线$l$与圆$C$交于$A$、$B$两点，求$|PA||PB|$的值．

难度：中等

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9．将单位圆经过伸缩变换：φ： $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%E2%80%B2%3D%CE%BBx%20%5C%5C%20y%E2%80%B2%3D%CE%BCy%5Cend%7Bcases%7D$ （λ＞0，μ＞0）得到曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D$ =1
（1）求实数λ，μ的值；
（2）以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，将曲线C 上任意一点到极点的距离ρ（ρ≥0）表示为对应极角θ（0≤θ＜2π）的函数，并探求θ为何值时，ρ取得最小值？

难度：中等

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10．
【题文】在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）．
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）求点到曲线上的点的距离的最小值．

难度：中等

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