知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=|x-a|+|2x-1|．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥2；
（Ⅱ）求证：f(x)≥|a-
1
2
|．

难度：中等

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2．设函数f（x）= $\text{[math]}$ ，证明：
（I）当x＜0时，f（x）＜1；
（II）对任意a＞0，当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）﹣1|＜a．

难度：中等

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3． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=2|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥3．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=ax³+bx²在点（2，f（2））处的切线方程为6x+3y-10=0，且对任意的x∈[0，+∞）f′（x）≤kln（x+1）恒成立．
（I）求a，b的值；
（Ⅱ）求实数k的最小值；
（Ⅲ）证明：
n
i=1
1
i
＜ln(n+1)+2(n∈N•)．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=|x-1|．
（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；
（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（
b
a
）．

难度：较难

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6．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值为m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a²+b²+c²≥3．

难度：较难

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7．已知a，b是正常数，x，y∈（0，+∞），求证： $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ．

难度：中等

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8．设a、b、c∈R⁺，且a+b+c=1．
（Ⅰ）求证：2ab+bc+ca+
c2
2
≤
1
2
；
（Ⅱ）求证：
a2+c2
b
+
b2+a2
c
+
c2+b2
a
≥2．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=lnx-kx+1．
（1）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（2）证明：
ln2
3
+
ln3
8
+
ln4
15
+…
lnn
n2-1
+（1+
1
n
）ⁿ＜
n2+n+10
4
（n∈N^*且n＞1）．

难度：较难

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