知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a，b∈R⁺．
（1）求证：
a2
b
+
b2
a
≥a+b；
（2）利用（1）的结论，求函数y=
(1-x)2
x
+
x2
1-x
（0＜x＜1）的最小值．

难度：中等

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2．设a，b，c∈R，证明：a²+b²+c²≥ab+ac+bc．

难度：中等

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3．已知a＞0，求证： $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ≥a+ $\text{[math]}$ ﹣2．

难度：中等

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4．已知a+b+c=2，且a、b、c是正数，求证： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ．

难度：中等

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5．（1）解关于x不等式（x-a）（x-1）＜0．
（2）证明：（x+y）（
1
x
+
1
y
）≥4（其中x＞0，y＞0）．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=xlnx和g（x）=m（x²-1）（m∈R）
（Ⅰ）m=1时，求方程f（x）=g（x）的实根；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（1，+∞），函数y=g（x）的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：
4
4×12-1
+
4×2
4×22-1
+…+
4×n
4×n2-1
＞ln（2n+1）（n∈N^*）

难度：较难

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7．（1）若不等式|2x-1|+|x+2|≥m²+
1
2
m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）设a，b，c大于0，且1≤
1
a
+
1
2b
+
1
3c
≤
2
5
（|2x-1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c≥9．

难度：中等

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8．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：（a+b）^-1+（b+c）^-1=3（a+b+c）^-1．

难度：中等

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9．用适合的方法证明下列命题：
（1）
a+1
-
a
＜
a-1
-
a-2
（a≥2）
（2）若a，b为两个不相等的正数，且a+b=1，则
1
a
+
1
b
＞4．

难度：中等

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10．已知a，b，c，d∈（0，+∞），求证ac+bd≤
(a2+b2)(c2+d2)
．

难度：中等

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