知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a，b，c∈R，a²+b²+c²=1．
（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤
3
；
（Ⅱ）若不等式|x-1|+|x+1|≥（a+b+c）²对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．

难度：较难

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2．已知a≥0，b≥0，求证：a⁶+b⁶≥ab（a⁴+b⁴）．

难度：中等

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3．证明：不等式
m+1
-
m
＜
m-1
-
m-2
（m≥2）

难度：中等

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4．函数f(x)=
|x+1|+|x+2|-a
．
（Ⅰ）若a=5，求函数f（x）的定义域A；
（Ⅱ）设a，b∈（-1，1），证明
|a+b|
2
＜|1+
ab
4
|．

难度：较难

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5．用分析法、综合法证明：若a＞0，b＞0，a≠b，则
a+b
2
＞
ab
．

难度：中等

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6． A．选修4-1：几何证明选讲
如图，直角△ABC中，∠B=90°，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB的中点．
求证：DE是⊙O的切线．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值-1及其对应的一个特征向量为
1
-4
，点P（2，-1）在矩阵A对应的变换下得到点P′（5，1），求矩阵A．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρcos(θ-
π
4
)=
2
，曲线C的参数方程为
x=2cosα
y=sinα
（α为参数），求曲线C截直线l所得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c都是正数，且abc=8，求证：log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

难度：中等

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7．求证：2a⁴-a²≥2a³-1．

难度：中等

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8．求证：
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
3n+1
＜
9
8
．

难度：中等

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9．设a=1og₃4，b=1og₄3，c=1og₃2，则a，b，c的大小关系为．

难度：较易

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10．已知函数f（x）=x-a-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当函数y=f（x）有两个零点时，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当函数y=f（x）有两个零点x₁，x₂∈[
1
2
，
5
2
]且x₁＜x₂时，证明：
①若x₂-x₁≤1，则有
3
ln2+ln9
＜a＜
1
2-ln4
；
②
x2-x1
x1x2
随着a的增大而增大；
③x₁x₂＞1；
（Ⅲ）证明：
n
k=1
k
1+lnk
＞ln（n+1），（n∈N^*）．

难度：中等

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