知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
$(1)$当$x > 1$时，求证：$x^{2}+ \dfrac {1}{x^{2}} > x+ \dfrac {1}{x}$；
$(2)$已知$x∈R$，$a=x^{2}-x+1$，$b=4-x$，$c=x^{2}-2x.$试证明$a$，$b$，$c$至少有一个不小于$1$．

难度：较易

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3．

用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )

A．有两个内角是钝角

B．有三个内角是钝角

C．至少有两个内角是钝角

D．没有一个内角是钝角

难度：中等

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4．
已知等比数列$\left\{ \mathbf{a}_{\mathbf{n}} \right\}$的公比$\mathbf{q}{ > }0$，其前$\mathbf{n}$项和为$\mathbf{S}_{\mathbf{n}}$，若$\mathbf{a}_{\mathbf{1}}\mathbf{{=}1}$，$\mathbf{4}\mathbf{a}_{\mathbf{3}}\mathbf{{=}}\mathbf{a}_{\mathbf{2}}\mathbf{a}_{\mathbf{4}}$．

$(1)$求公比$\mathbf{q}$和$\mathbf{a}_{\mathbf{5}}$的值；

$(2)$求证：$\dfrac{\mathbf{S}_{\mathbf{n}}}{\mathbf{a}_{\mathbf{n}}}\mathbf{{ < }}2$．

难度：较易

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5．

观察下列式子：$1+ \dfrac{1}{{2}^{2}} < \dfrac{3}{2},1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}} < \dfrac{5}{3},1+ \dfrac{1}{{2}^{2}}+ \dfrac{1}{{3}^{2}}+ \dfrac{1}{{4}^{2}} < \dfrac{7}{4} $，

$($Ⅰ$)$由此猜想一个一般性的结论，

$($Ⅱ$)$请证明你的结论。

难度：难

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6．设$a$，$b$，$c$都是正数，那么三个数$a+ \dfrac {1}{b}$，$b+ \dfrac {1}{c}$，$c+ \dfrac {1}{a}($　　$)$

A．都不大于$2$

B．都不小于$2$

C．至少有一个不大于$2$

D．至少有一个不小于$2$

难度：较易

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7．

已知$α∈\left(0, \dfrac{π}{2}\right) $，$β∈\left(0, \dfrac{π}{2}\right) $，且$\dfrac{\alpha }{2(1+\cos \dfrac{\alpha }{2})} < \tan \beta < \dfrac{1-\cos \alpha }{\alpha }$，则

A．$\dfrac{\alpha }{4} < \beta < \dfrac{\alpha }{2}$

B．$\dfrac{\alpha }{2} < \beta < \alpha $

C．$\dfrac{\alpha }{8} < \beta < \dfrac{\alpha }{4}$

D．$\dfrac{\alpha }{16} < \beta < \dfrac{\alpha }{8}$

难度：难

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8．用反证法证明命题“如果0＜x＜y，那么 $%20%5Csqrt%20%7Bx%7D%EF%BC%9C%20%5Csqrt%20%7By%7D$ ”时，应假设______．

难度：较难

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