知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

已知正数$x$，$y$，$z$满足$x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$．

$($Ⅰ$)$求$x+2y+z$的最大值；

$($Ⅱ$)$若不等式$|a+1|-2a\geqslant x+2y+z$对满足条件的$x$，$y$，$z$恒成立，求实数$a$的取值范围．

难度：较易

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2．设α、β∈（0， $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ），试用柯西不等式证明 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bcos%5E%7B2%7D%5Calpha%20%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bsin%5E%7B2%7D%5Calpha%20%5Ccdot%20cos%5E%7B2%7D%5Cbeta%20%5Ccdot%20sin%5E%7B2%7D%5Cbeta%20%7D$ ≥9．

难度：较易

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3．（选做题）已知a，b，c∈（0，+∞），且 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Bb%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7Bc%7D%3D2$ ，求a+2b+3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．

难度：较易

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4．
$($选做题$)$已知$a$，$b$，$c∈(0,+∞)$，且$ \dfrac {1}{a}+ \dfrac {2}{b}+ \dfrac {3}{c}=2$，求$a+2b+3c$的最小值及取得最小值时$a$，$b$，$c$的值．

难度：较易

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5．
设$α$、$β∈(0, \dfrac {π}{2})$，试用柯西不等式证明 $ \dfrac {1}{\cos ^{2}\alpha }+ \dfrac {1}{\sin ^{2}\alpha \cdot \cos ^{2}\beta \cdot \sin ^{2}\beta }\geqslant 9$．

难度：较易

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6．已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x-2|的最小值为a．
（1）求a的值；
（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p²+q²+r²≥3．

难度：中等

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7．（1）试用比较法证明柯西不等式：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²（m，n，a，b∈R）
（2）已知x²+y²=2，且|x|≠|y|，求 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B9x%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7By%5E%7B2%7D%7D$ 的最小值．

难度：较易

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8．已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=m-2|x-4|，若2f（x）≥g（x）恒成立，实数m的最大值为a．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）已知实数x，y，z满足x+y+z=a，求2x²+3y²+6z²的最小值．

难度：较易

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9．已知实数x，y，z满足x+y+2z=1，设t=x²+y²+2z²．
（Ⅰ）求t的最小值；
（Ⅱ）当t= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 时，求z的取值范围．

难度：中等

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10．已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，
(Ⅰ) 求证： $%20%5Csqrt%20%7Ba%7D%2B%20%5Csqrt%20%7Bb%7D%2B%20%5Csqrt%20%7Bc%7D%5Cleq%203$ ；
(Ⅱ)若c=ab，求c的最大值．

难度：较易

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