选修\(4—5\)：不等式选讲

已知函数\(f(x)=m-\left| x+4 \right|(m > 0)\)，且\(f(x-2)\geqslant 0\)的解集为\(\left[ -3,-1 \right]\)．

\((1)\) 求\(m\)的值；

\((2)\)若\(a,b,c\)都是正实数，且\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{3c}=m\)，求证：\(a{+}2b{+}3c\geqslant 9\)．

选修\(4-5\)：不等式选讲

已知函数\(f\left( x \right)=\left| x-a \right|+\left| x+b \right|\left( a > 0,b > 0 \right)\)．

\((1)\)若\(a=1,b=2\)，解不等式\(f\left( x \right)\leqslant 5\)；

\((2)\)若\(f\left( x \right)\)的最小值为\(3\)，求\(\dfrac{{{a}^{2}}}{b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{a}\)的最小值．

\([\)选修\(4-5\)：不等式选讲\(]\)

已知\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)均为正数，且\(ad=bc\)．

\((\)Ⅰ\()\)证明：若\(a+d > b+c\)，则\(|a-d| > |b-c|\)；

\((\)Ⅱ\()\)若\(t· \sqrt{a^{2}+b^{2}}· \sqrt{c^{2}+d^{2}}= \sqrt{a^{4}+c^{4}}+ \sqrt{b^{4}+d^{4}}\)，求实数\(t\)的取值范围．

\((1)\)在直角坐标系\(xOy \)中，曲线\(B\)是过点\(P(-1,1) \)，倾斜角为\( \dfrac{π}{4} \)的直线，以直角坐标系\(xOy \)的原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(A\)的极坐标方程是\({p}^{2}= \dfrac{12}{3+{\sin }^{2}θ} \)．

\(①\)求曲线\(A\)的普通方程和曲线\(B\)的一个参数方程；

\(②\)曲线\(A\)与曲线\(B\)相交于\(M\)，\(N\)两点，求\(\left|MP\right|+\left|NP\right| \)的值．

\((2)\)已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)=\left|x+1\right|+\left|x-2\right| \)的最小值为\(a\)．

\(①\)求\(a\)的值；

\(②\)若\(p\)，\(q\)，\(r\)为正实数，且\(p+q+r=a \)，求证：\({p}^{2}+{q}^{2}+{r}^{2}\geqslant 3 \)．

\((1)\)已知复数\(z\)满足\(\dfrac{i}{z+i}=2-i\)，则\(z=\) __________．

\((2)\)已知\(a\)，\(b\)，\(c∈\)，\(a+2b+3c=6\)，则\(a^{2}+4b^{2}+9c^{2}\)的最小值为            ．

\((3)\)甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下．

甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话．

事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是     ．

\((4)\)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数\(.\)如三角形数\(1,3,6,10,\cdots \)，第\(n\)个三角形数为\(\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{1}{2}{{n}^{2}}+\dfrac{1}{2}n .\)记第\(n\)个\(k\)边形数为\(N\left( n,k \right)(k\geqslant 3)\)，以下列出了部分\(k\)边形数中第\(n\)个数的表达式：

三角形数 \(N\left( n,3 \right)=\dfrac{1}{2}{{n}^{2}}+\dfrac{1}{2}n\)            正方形数 \(N\left( n,4 \right)={{n}^{2}}\)

五边形数 \(N\left( n,5 \right)=\dfrac{3}{2}{{n}^{2}}-\dfrac{1}{2}n\)            六边形数 \(N\left( n,6 \right)=2{{n}^{2}}-n\)

可以推测\(N\left( n,k \right)\)的表达式，由此计算\(N\left( 10,24 \right)=\)              ．

选修\({4}-5\)：不等式选讲

已知函数\(f(x)=|x- \dfrac{1}{2}|+|2x+1| \) ．

\((I)\)求函数\(f(x)\)的值域；

\((II)\)若\(f(x)\)的最大值为\(a\)时，已知\(x,y,z\)均为正实数，且\(x+y+z=a\)，求证：\( \dfrac{{y}^{2}}{x}+ \dfrac{{z}^{2}}{y}+ \dfrac{{x}^{2}}{z}\geqslant 1 \)