知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．请用数学归纳法证明：1+3+6+…+
n(n+1)
2
=
n(n+1)(n+2)
6
（n∈N^*）

难度：中等

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2．已知数列{a_n}的通项公式a_n=
1
(n+1)2
（n∈N^*），记f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）．
（1）试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）的值；
（2）试用数学归纳法证明你的推测．

难度：中等

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3．对于任意正整数n，猜想2n﹣1与（n+1）²的大小关系，并给出证明．

难度：中等

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4．用数学归纳法证明：2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n﹣4（n∈N^*）能被25整除．

难度：中等

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5．已知点列A_n（x_n ， 0），n∈N^* ，其中x₁=0，x₂=1．A₃是线段A₁A₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…，A_n₊₂是线段A_nA_n₊₁的中点，…设a_n=x_n₊₁﹣x_n ．（Ⅰ）写出x_n与x_n_﹣₁、x_n_﹣₂（n≥3）之间的关系式并计算a₁ ， a₂ ， a₃；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

难度：中等

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6．用数学归纳法证明：（n+1）+（n+2）+…+（n+n）= $\text{[math]}$ （n∈N^*）

难度：中等

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7．一种计算装置，有一数据入口A和一个运算出口B，按照某种运算程序：①当从A口输入自然数1时，从B口得到 $\text{[math]}$ ，记为 $\text{[math]}$ ；②当从A口输入自然数n（n≥2）时，在B口得到的结果f（n）是前一个结果f（n﹣1）的 $\text{[math]}$ 倍．（Ⅰ）当从A口分别输入自然数2，3，4时，从B口分别得到什么数？
（Ⅱ）根据（Ⅰ）试猜想f（n）的关系式，并用数学归纳法证明你的结论．

难度：中等

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8．用数学归纳法证明：1²﹣2²+3²﹣4²+…+（﹣1）ⁿ^﹣¹n²=（﹣1）ⁿ^﹣¹ $\text{[math]}$ ．

难度：中等

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9．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．
（1）写出a₁，a₂，a₃；
（2）由（1）数列{a_n}猜想出数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明．

难度：中等

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10．数学归纳法证明 1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n-1
＞
n
2
（n∈N^*）

难度：中等

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