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          共50条信息

            • 1．
              设\(M⊆N^{+}\)，正项数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项的积为\(T_{n}\)，且\(∀k∈M\)，当\(n > k\)时，\( \sqrt {T_{n+k}T_{n-k}}=T_{n}T_{k}\)都成立．
              \((1)\)若\(M=\{1\}\)，\(a_{1}= \sqrt {3}\)，\(a_{2}=3 \sqrt {3}\)，求数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和；
              \((2)\)若\(M=\{3,4\}\)，\(a_{1}= \sqrt {2}\)，求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式．
              难度：较易
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            • 2．
              定义\( \dfrac {n}{p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}}\)为\(n\)个正数\(p_{1}\)，\(p_{2}\)，\(…\)，\(p_{n}\)的“均倒数”，若已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项的“均倒数”为\( \dfrac {1}{2n+1}\)，又\(b_{n}= \dfrac {a_{n}+1}{4}\)，则\( \dfrac {1}{b_{1}b_{2}}+ \dfrac {1}{b_{2}b_{3}}+…+ \dfrac {1}{b_{2017}b_{2018}}=\) ______ ．
              难度：较易
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            • 3．
              设\(S_{n}\)为正项数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，满足\(2S_{n}=a \;_{ n }^{ 2 }+a_{n}-2\)．
              \((I)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((II)\)若不等式\((1+ \dfrac {2}{a_{n}+t})\;^{a_{n}}\geqslant 4\)对任意正整数\(n\)都成立，求实数\(t\)的取值范围；
              \((III)\)设\(b_{n}=e\;^{ \frac {3}{4}a_{n}\ln (n+1)}(\)其中\(r\)是自然对数的底数\()\)，求证：\( \dfrac {b_{1}}{b_{3}}+ \dfrac {b_{2}}{b_{4}}+..+ \dfrac {b_{n}}{b_{n+2}} < \dfrac { \sqrt {6}}{6}\)．
              难度：中等
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            • 4．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=k(3^{n}-1)\)，且\(a_{3}=27\)．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若\(b_{n}=\log _{3}a_{n}\)，求数列\(\{ \dfrac {1}{b_{n}b_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：较易
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            • 5．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}=2a_{n}-2(n∈2N^{*}).\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)求数列\(\{S_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：较难
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            • 6．
              设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=2+S_{n}\)，\((n∈N^{*}).\)
              \((I)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}=1+\log _{2}(a_{n})^{2}\)，求数列\(\{ \dfrac {1}{b_{n}b_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n} < \dfrac {1}{6}\)．
              难度：较易
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            • 7． 已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=
              f(x)
              x
              在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=
              f(x)
              x2
              在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω1，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω2．
              （Ⅰ）已知函数f（x）=x3-2hx2-hx，若f（x）∈Ω1，且f（x）∉Ω2，求实数h的取值范围；
              （Ⅱ）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω1且f（x）的部分函数值由下表给出，
              xabca+b+c
              f（x）ddt4
              求证：d（2d+t-4）＞0；
              （Ⅲ）定义集合Φ={f（x）|f（x）∈Ω2，且存在常数k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，请问：是否存在常数M，使得∀f（x）∈Φ，∀x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，说明理由．
              难度：中等
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            • 8．

               已知数列满足则的最小值为__________.

               

              难度：中等
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            • 9．

               

              已知数列的各项均为正数，，且前项之和满足，求数列的通项公式.

               

               

               

               

               

               

              难度：易
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            • 10．

               

              各项都为正数的数列，满足

              （Ⅰ）求数列的通项公式；

              （Ⅱ）证明对一切恒成立.

               

               

               

               

               

               

               

              难度：中等
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