知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附： $%7BK%7D%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%7Bn%7B%28ad%E2%88%92bc%29%7D%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ．
P（K²≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

难度：较易

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2．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额
支付方式不大于2000元大于2000元

仅使用A 27人 3人

仅使用B 24人 1人

（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．

难度：较易

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3．
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式$.$为比较两种生产方式的效率，选取$40$名工人，将他们随机分成两组，每组$20$人$.$第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式$.$根据工人完成生产任务的工作时间$($单位：$min)$绘制了如下茎叶图：

$(1)$根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
$(2)$求$40$名工人完成生产任务所需时间的中位数$m$，并将完成生产任务所需时间超过$m$和不超过$m$的工人数填入下面的列联表：

超过$m$ 不超过$m$

第一种生产方式

第二种生产方式

$(3)$根据$(2)$中的列联表，能否有$99\%$的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：$K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，

$P(K^{2}\geqslant k)$ $0.050$ $0.010$ $0.001$

$k$ $3.841$ $6.635$ $10.828$

难度：较易

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4．
如图是某地区$2000$年至$2016$年环境基础设施投资额$y($单位：亿元$)$的折线图．

为了预测该地区$2018$年的环境基础设施投资额，建立了$y$与时间变量$t$的两个线性回归模型$.$根据$2000$年至$2016$年的数据$($时间变量$t$的值依次为$1$，$2$，$…$，$17)$建立模型$①$：$ \hat {y}=-30.4+13.5t$；根据$2010$年至$2016$年的数据$($时间变量$t$的值依次为$1$，$2$，$…$，$7)$建立模型$②$：$ \hat {y}=99+17.5t$．
$(1)$分别利用这两个模型，求该地区$2018$年的环境基础设施投资额的预测值；
$(2)$你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

难度：中等

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5．
某家庭记录了未使用节水龙头$50$天的日用水量数据$($单位：$m^{3})$和使用了节水龙头$50$天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头$50$天的日用水量频数分布表

日用水量 $[0,0.1)$ $[0.1,0.2)$ $[0.2,0.3)$ $[0.3,0.4)$ $[0.4,0.5)$ $[0.5,0.6)$ $[0.6,0.7)$

频数 $1$ $3$ $2$ $4$ $9$ $26$ $5$

使用了节水龙头$50$天的日用水量频数分布表

日用水量 $[0,0.1)$ $[0.1,0.2)$ $[0.2,0.3)$ $[0.3,0.4)$ $[0.4,0.5)$ $[0.5,0.6)$

频数 $1$ $5$ $13$ $10$ $16$ $5$

$(1)$作出使用了节水龙头$50$天的日用水量数据的频率分布直方图；

$(2)$估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于$0.35m^{3}$的概率；
$(3)$估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？$($一年按$365$天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表$)$

难度：较难

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6．
某公司了解用户对其产品满意度，从$A$，$B$两地区分别随机调查了$20$个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

$(1)$根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度$($不要求计算出具体值，给出结论即可$)$；

$(2)$根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

记事件$C$：“$A$地区用户的满意度等级高于$B$地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件的概率，求$C$的概率。

难度：较易

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7．

下图是我国$2008$年至$2014$年生活垃圾无害化处理量$($单位：亿吨$)$的折线图

$(I)$由折线图看出，可用线性回归模型拟合$y$与$t$的关系，请用相关系数加以说明

$(II)$建立$y$关于$t$的回归方程$($系数精确到$0.01)$，预测$2016$年我国生活垃圾无害化处理量。

难度：较难

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8．

下图是我国$2008$年至$2014$年生活垃圾无害化处理量$($单位：亿吨$)$的折线图．

注：年份代码$1–7$分别对应年份$2008–2014$．

$($Ⅰ$)$由折线图看出，可用线性回归模型拟合$y$与$t$的关系，请用相关系数加以说明；

$($Ⅱ$)$建立$y$关于$t$的回归方程$($系数精确到$0.01)$，预测$2016$年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据：$\sum\limits_{i=1}^{7}{{{y}_{i}}}=9.32$，$\sum\limits_{i=1}^{7}{{{t}_{i}}{{y}_{i}}}=40.17$，$\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{7}{{{({{y}_{i}}-\bar{y})}^{2}}}}=0.55$，$ \sqrt{7}≈2.646$．

参考公式：$r= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{1}- \bar{t})(y- \bar{y})}{ \sqrt{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}}({t}_{1}- \overset{¯}{t}{)}^{2} \sum\nolimits_{i=1}^{n}(y1- \overset{¯}{y}{)}^{2}} $

回归方程$ \overset{¯}{y}= \overset{¯}{a}+ \overset{¯}{b}t $中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

$ \overset{¯}{b}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{1}- \overset{¯}{t})({y}_{1}- \overset{¯}{y})}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{1}- \overset{¯}{t}{)}^{2}} $

难度：难

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9．
某公司为了解用户对其产品的满意度，从$A$，$B$两地区分别随机调查了$40$个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到$A$地区用户满意度评分的频率分布直方图和$B$地区用户满意度评分的频数分布表

$(1)$在答题卡上作出$B$地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度$($不要求计算出具体值，给出结论即可$)$

$(2)$根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大？说明理由

难度：较易

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\(P(K^{2}\geqslant k)\)	\(0.050\)	\(0.010\)	\(0.001\)
\(k\)	\(3.841\)	\(6.635\)	\(10.828\)

日用水量	\([0,0.1)\)	\([0.1,0.2)\)	\([0.2,0.3)\)	\([0.3,0.4)\)	\([0.4,0.5)\)	\([0.5,0.6)\)	\([0.6,0.7)\)
频数	\(1\)	\(3\)	\(2\)	\(4\)	\(9\)	\(26\)	\(5\)

日用水量	\([0,0.1)\)	\([0.1,0.2)\)	\([0.2,0.3)\)	\([0.3,0.4)\)	\([0.4,0.5)\)	\([0.5,0.6)\)
频数	\(1\)	\(5\)	\(13\)	\(10\)	\(16\)	\(5\)

支付金额支付方式	不大于2000元	大于2000元
仅使用A	27人	3人
仅使用B	24人	1人

	超过\(m\)	不超过\(m\)
第一种生产方式
第二种生产方式

	满意	不满意
男顾客	40	10
女顾客	30	20

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828