知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号．
（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；（下面摘取了第7行到第9行）
84 42 17 53 31  57 24 55 06 88  77 04 74 47 67  21 76 33 50 25  83 92 12 06 76
63 01 63 78 59  16 95 56 67 19  98 10 50 71 75  12 86 73 58 07  44 39 52 38 79
33 21 12 34 29  78 64 56 07 82  52 42 07 44 38  15 51 00 13 42  99 66 02 79 54
（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：

人数数学

优秀良好及格

地理优秀 7 20 5

良好 9 18 6

及格 a 4 b

成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的人数共有20+18+4=42．
①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；
②在地理成绩及格的学生中，已知a≥11，b≥7，求数学成绩优秀人数比及格人数少的概率．

难度：较易

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2．

据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的\(200\)辆汽车所用时间的频数如下表：

\((\)Ⅰ\()\)为进行某项研究，从所用时间为\(12\)天的\(60\)辆汽车中随机抽取\(6\)辆．

\((ⅰ)\)若用分层抽样的方法抽取，求从通过公路\(1\)和公路\(2\)的汽车中各抽取几辆？

\((ⅱ)\)若从\((ⅰ)\)的条件下抽取的\(6\)辆汽车中，再任意抽取两辆汽车，求这两辆汽车至少有一辆通过公路\(1\)的概率？

\((\)Ⅱ\()\)假设汽车\(A\)只能在约定日期\((\)某月某日\()\)的前\(11\)天出发，汽车\(B\)只能在约定日期的前\(12\)天出发\(.\)为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车\(A\)和汽车\(B\)应如何选择各自的路径？

难度：较难

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3．

某中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽出\(20\)名学生作为样本，其选报文科理科的情况如下表所示，其中\(x\)，\(y\)，\(z∈N*\)．

男

女

文科

\(2\)

\(x\)

理科

\(y\)

\(z\)

\((1)\)若选文科的男、女人数之比是\(2︰5\)，男生中选文科、理科人数之比是\(1︰5\)，求\(x\)，\(y\)，\(z\)；

\((2)\)用假设检验的方法分析在犯错误的概率不超过\(5％\)的情况下，能否有把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关？

难度：中等

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4．

某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的\(60\)名学生，得到数据如下表：

喜欢统计课程

不喜欢统计课程

合计

男生

\(20\)

\(10\)

\(30\)

女生

\(10\)

\(20\)

\(30\)

合计

\(30\)

\(30\)

\(60\)

\((1)\)判断是否有\(99.5％\)的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？

\((2)\)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取\(6\)名学生作进一步调查，将这\(6\)名学生作为一个样本，从中任选\(3\)人，求恰有\(2\)个男生和\(1\)个女生的概率．

下面的临界值表供参考：

\(P({K}^{2}\geqslant k) \)

\(0.05\)

\(0.025\)

\(0.010\)

\(0.005\)

\(0.001\)

\(K\)
\(3.841\)

\(5.024\)

\(6.635\)

\(7.879\)

\(10.828\)

\((\)参考公式：\({K}^{2}= \dfrac{n(ad-bc{)}^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} \)，其中\(n=a+b+c+d )\)

难度：中等

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5．
“微信运动”已成为当下热门的运动方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的\(40\)人\((\)男、女各\(20\)人\()\)，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：

附：\({{K}^{2}}=\dfrac{n{{\left( ad-bc \right)}^{2}}}{\left( a+b \right)\left( c+d \right)\left( a+c \right)\left( b+d \right)},\)

\((1)\)已知某人一天的走路步数超过\(8000\)步被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的\(2\times 2\)列联表，并据此判断能否有\(95\%\)以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

\((2)\)为了了解不同行业人群的业余时间分配情况，从上述调查的懈怠型的人员中按性别分层抽样抽取\(6\)人，再从这\(6\)人中随机抽出\(3\)名进行电话回访，求\(3\)人中至少有\(1\)人是男性的概率．

难度：较难

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6．
美国为了实行用“公平贸易”来取代“自由贸易”，\(2018\)年\(4\)月\(4\)日美国政府宣布对原产于中国价值\(500\)亿美元的\(1300\)多种进口商品加增\(25\%\)的关税。为了了解民众支持与不支持是否与国籍有关进行问卷调查得到以下列联表：

支持

不支持

总计

中国

\(50\)

美国

\(5\)

总计\(100\)

\(100\)

若采用分层抽样方法从问卷调查中继续抽查了\(20\)份进行重点分析，知道其中不支持的有\(16\)份．

\((1)\)完成上表；

\((2)\)能否在犯错误的概率不超过\(0.05\)的前提下认为民众支持与不支持与国籍有关系\((K^{2}\)的观测值精确到\(0.001)?\)

\(P\)\((K^{2}\)\(\geqslant k)\)

\(0.100\)

\(0.050\)

\(0.010\)

\(0.001\)

\(k\)

\(2.706\)

\(3.841\)

\(6.635\)

\(10.828\)

\({k}^{2}=\dfrac{n{(ad-bc)}^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)

难度：较易

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7．
为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班\(50\)人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

喜好体育运动

不喜好体育运动

合计

男生

______

\(5\)

______

女生

\(10\)

______

______

合计

______

______

\(50\)

已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为\(10\)的样本，则抽到喜好体育运动的人数为\(6\)．
\((1)\)请将上面的列联表补充完整；
\((2)\)能否在犯错概率不超过\(0{.}01\)的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由．
\((\)参考公式：\(K^{2}{=}\dfrac{n({ad}{-}{bc})^{2}}{(a{+}c)(b{+}d)(a{+}b)(c{+}d)}(n{=}a{+}b{+}c{+}d)\)
独立性检验临界值表：

\(P(K^{2}{\geqslant }k_{0})\)

\(0{.}10\)

\(0{.}05\)

\(0{.}025\)

\(0{.}010\)

\(k_{0}\)

\(2{.}706\)

\(3{.}841\)

\(5{.}024\)

\(6{.}635\)

难度：较难

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8．
经统计，某校学生上学路程所需要时间全部介于\(0\)与\(50\)之间\((\)单位：分钟\()\)。现从在校学生中随机抽取\(100\)人，按上学所需时间分组如下：第\(1\)组\((0,\ 10]\)，第\(2\)组\((10,\ 20]\)，第\(3\)组\((20,\ 30]\)，第\(4\)组\((30,\ 40]\)，第\(5\)组\((40,\ 50]\)，得到如图所示的频率分布直方图。

\((\)Ⅰ\()\)根据图中数据求\(a\)的值；

\((\)Ⅱ\()\)若从第\(3\)，\(4\)，\(5\)组中用分层抽样的方法抽取\(6\)人参与交通安全问卷调查，应从这三组中各抽取几人？

\((\)Ⅲ\()\)在\((\)Ⅱ\()\)的条件下，若从这\(6\)人中随机抽取\(2\)人参加交通安全宣传活动，求第\(4\)组至少有\(1\)人被抽中的概率。

难度：难

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9．
海关对同时从\(A\)，\(B\)，\(C\)三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量\((\)单位：件\()\)如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取\(6\)件进行检测

地区
\(A\) \(B\) \(C\)

数量

\(50\)

\(150\)

\(100\)

\((1)\)求这\(6\)件样品中来自\(A\)，\(B\)，\(C\)各地区商品的数量；

\((2)\)若在这\(6\)件样品中随机抽取\(2\)件送往甲机构进一步检测，求这\(2\)件商品来自不相同地区的概率．

难度：难

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10．

为了解大学生观看浙江卫视综艺节目“奔跑吧兄弟”是否与性别有关，一所大学心理学教师从该校学生中随机抽取了\(50\)人进行问卷调查，得到了如下的列联表：

	喜欢看“奔跑吧兄弟”	不喜欢看“奔跑吧兄弟”	合计
女生		\(5\)
男生	\(10\)
合计			\(50\)

若该教师采用分层抽样的方法从\(50\)份问卷调查中继续抽查了\(10\)份进行重点分析，知道其中喜欢看“奔跑吧兄弟”的有\(6\)人．

\((1)\)请将上面的列联表补充完整；

\((2)\)是否有\(99.5\%\)的把握认为喜欢看“奔跑吧兄弟”节目与性别有关？说明你的理由；

\((3)\)已知喜欢看“奔跑吧兄弟”的\(10\)位男生中，\({{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},{{A}_{4}},{{A}_{5}}\)还喜欢看新闻，\({{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}}\)还喜欢看动漫，\({{C}_{1}},{{C}_{2}}\)还喜欢看韩剧，现再从喜欢看新闻、动漫和韩剧的男生中各选出\(1\)名进行其他方面的调查，求\({{B}_{1}}\)和\({{C}_{1}}\)不全被选中的概率．

下面的临界值表供参考：

\(P\left( {{K}^{2}}\geqslant {{k}_{0}} \right)\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\({{k}_{0}}\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

\((\)参考公式：\({{K}^{2}}=\dfrac{n{{\left( ad-bc \right)}^{2}}}{\left( a+b \right)\left( c+d \right)\left( a+c \right)\left( b+d \right)}\)，其中\(n=a+b+c+d)\)

难度：较易

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人数		数学
人数		优秀	良好	及格
地理	优秀	7	20	5
	良好	9	18	6
	及格	a	4	b

	喜欢统计课程	不喜欢统计课程	合计
男生	\(20\)	\(10\)	\(30\)
女生	\(10\)	\(20\)	\(30\)
合计	\(30\)	\(30\)	\(60\)

\(P({K}^{2}\geqslant k) \)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(K\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(6.635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

	支持	不支持	总计
中国		\(50\)
美国	\(5\)
总计\(100\)			\(100\)

\(P\)\((K^{2}\)\(\geqslant k)\)	\(0.100\)	\(0.050\)	\(0.010\)	\(0.001\)
\(k\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(6.635\)	\(10.828\)

	喜好体育运动	不喜好体育运动	合计
男生	______	\(5\)	______
女生	\(10\)	______	______
合计	______	______	\(50\)

\(P(K^{2}{\geqslant }k_{0})\)	\(0{.}10\)	\(0{.}05\)	\(0{.}025\)	\(0{.}010\)
\(k_{0}\)	\(2{.}706\)	\(3{.}841\)	\(5{.}024\)	\(6{.}635\)

	男	女
文科	\(2\)	\(x\)
理科	\(y\)	\(z\)

地区	\(A\)	\(B\)	\(C\)
数量	\(50\)	\(150\)	\(100\)