知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=a- $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B2%5E%7Bx%7D%2B1%7D$ （x∈R），a为实数
（1）试用单调性定义证明对任意实数a，f（x）在其定义域上为增函数；
（2）试确定a的值，使f（x）为奇函数．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=（a²-3a+3）a^x是指数函数，
（1）求f（x）的表达式；
（2）判断F（x）=f（x）-f（-x）的奇偶性，并加以证明
（3）解不等式：log_a（1-x）＞log_a（x+2）

难度：难

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3．已知函数F（x）=e^x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数．
（1）求函数h（x）的反函数；
（2）已知φ（x）=g（x-1），若函数φ（x）在[-1，3]上满足φ（2a+1＞φ（- $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7B2%7D$ ），求实数a的取值范围；
（3）若对于任意x∈（0，2]不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=ka^x（k为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1）和点B（2，16）．
（1）求函数的解析式；
（2）g（x）=b+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bf%28x%29%2B1%7D$ 是奇函数，求常数b的值；
（3）对任意的x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，试比较 $f%28%20%5Cfrac%20%7Bx_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D%7D%7B2%7D%29$ 与 $%20%5Cfrac%20%7Bf%28x_%7B1%7D%29%2Bf%28x_%7B2%7D%29%7D%7B2%7D$ 的大小．

难度：较易

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5．已知函数f（x）=a^x-1（a＞0且a≠1）
（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；
（2）比较 $f%28lg%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B100%7D%29%5Ctext%7B%E4%B8%8E%7Df%28-2.1%29$ 大小，并写出比较过程；
（3）若f（lga）=100，求a的值．

难度：较易

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6．设 $y_%7B1%7D%3Da%5E%7B3x%2B1%7D$ ， $y_%7B2%7D%3Da%5E%7B-2x%7D$ ，其中若a＞0且a≠1，确定x为何值时，有：
（1）y₁=y₂
（2）y₁＜y₂．

难度：易

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7．设函数f（x）=e^ax（a∈R）．
（I）当a=-2时，求函数g（x）=x²f（x）在区间（0，+∞）内的最大值；
（Ⅱ）若函数h（x）= $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Bf%28x%29%7D$ -1在区间（0，16）内有两个零点，求实数a的取值范围．

难度：中等

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8．集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%5Bf%28x_%7B1%7D%29%2Bf%28x_%7B2%7D%29%5D%EF%BC%9Ef%28%20%5Cfrac%20%7Bx_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D%7D%7B2%7D%29$ ．
（1）试判断f（x）=x²及g（x）=log₂x是否在集合A中，并说明理由；
（2）设f（x）∈A且定义域为（0，+∞），值域为（0，1）， $f%281%29%EF%BC%9E%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，试求出一个满足以上条件的函数f （x）的解析式．

难度：中等

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9．解方程3^x+2-3^2-x=80．

难度：易

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10．已知函数f（x）=e^2ax（a∈R）的图象C过点P（1，e），奇函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的图象为l．
（1）求实数a，b的值；
（2）若在y轴右侧图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围；
（3）若图象C与l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别是x₁，x₂，设x₁＜x₂，求证：x₁•x₂＜1．

难度：中等

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