知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x），若在定义域内存在x₀，使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，则称x₀为函数f（x）的局部对称点．
（1）若a，b，c∈R，证明函数f（x）=ax³+bx²+cx-b必有局部对称点；
（2）是否存在常数m，使得定义在区间[-1，2]上的函数f（x）=4^x+2^x+m有局部对称点？若存在，求出m的范围，否则说明理由．

难度：中等

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2．已知a＞0，a≠1且log_a3＞log_a2，若函数f（x）=log_ax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1．
（1）求a的值；
（2）求不等式log
1
3
(x-1)＞log
1
3
（a-x）的解集；
（3）设方程log2ax=(
1
2a
)x ， log
1
2a
x=(
1
2a
)x的根分别为x₁，x₂，求x₁x₂的取值范围．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=e^x-m，g（x）=ln（x+m），其中m＞0
（1）若P（x₀，y₀）是两个函数图象上的一个公共点，求证：x₀=y₀；
（2）若P（x₀，y₀）是两个函数图象上唯一的公共点，求实数m，x₀的值；
（3）若两个函数图象无公共点，试问存在几条直线与它们都相切？请说明理由．

难度：较难

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4．对于函数y=f（x）（x∈D），若同时满足下列条件：①f（x）在D内是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y=f（x）叫做闭函数．
（1）判断函数f（x）=x²是否为闭函数，并说明理由；
（2）是否存在实数a，b使函数y=-x³+1是闭函数；
（3）若y=k+
x+2
为闭函数，求实数k的取值范围．

难度：较难

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5．已知f（x）=
1-x
1+x
，x∈（-1，1）．求证：
（1）f（
1
a
）=-f（a）（a≠0）；
（2）lgf（-a）=-lgf（a）．

难度：中等

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6．已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x₁、x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立．
（1）已知函数f（x）=x²+1，x∈[-
1
2
，
1
2
]，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由；
（2）已知函数g（x）=ax+b∈M，求实数a，b的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得p(x)=
a
x+2
，x∈[-1，+∞）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=2^x（x∈R），
（1）解不等式f（x）-f（2x）＞16-9×2^x；
（2）若函数q（x）=f（x）-f（2x）-m在[-1，1]上有零点，求m的取值范围；
（3）若函数f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，若不等式2ag（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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8．函数f（x）满足对定义域内的任意x，都有f（x+2）+f（x）＜2f（x+1），则函数f（x）可以是（　　）

A．f（x）=lnx

B．f（x）=x²-2x

C．f（x）=e^x

D．f（x）=2x+1

难度：较难

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9．如果定义在R上的函数f（x）对任意两个不等的实数x₁，x₂都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），则称函数f（x）为“Z函数”．给出函数：①y=-x³+1；②y=2^x；③y=
ln|x|，x≠0
0，x=0
；④y=
x2+4x，x≥0
-x2+x，x＜0
．以上函数为“Z函数”的序号为．

难度：较难

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10．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）对任意正数p，q都有f(pq)=f(p)+f(q)-
1
2
，当x＞4时，f（x）＞
3
2
，且f（
1
2
）=0．
（1）求f（2）的值；
（2）证明：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解关于x的不等式f（x）+f（x+3）＞2．

难度：中等

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