若曲线\(y=\ln x\)的一条切线是直线\(y=\dfrac{1}{2}x+b\)，则实数\(b\)的值为____\(.\) 

已知\(a\)，\(b\)，\(c\)为正实数，且\(a+2b\leqslant 8c\)，\(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}\leqslant \dfrac{2}{c}\)，则\(\dfrac{3a{+}8b}{c}\)的取值范围为____\(.\) 

若曲线\(y=f(x)=\ln x+ax^{2}(a\)为常数\()\)不存在斜率为负数的切线，则实数\(a\)的取值范围是\((\)　　\()\)

已知函数\(f\left( x \right)\)满足\(f\left( \dfrac{x}{2} \right)={{x}^{3}}-3x\)，则函数\(f\left( x \right)\)的图象在\(x=1\)处的切线斜率为\((\)   \()\)

二维空间中圆的一维测度\((\)周长\()l=2πr\)，二维测度\((\)面积\()S=πr^{2}\)；三维空间中的球的二维测度\((\)表面积\()S=4πr^{2}\)，三维测度\((\)体积\()V=\dfrac{{4}}{{3}}{ }\!\!\pi\!\!{ }{{r}^{3}}.\)四维空间中的“超球”的三维测度\(V=8πr^{3}\)，猜想其四维测度\(W=\)  \((\)    \()\)

已知函数\(f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\)，\(g\left( x \right)=a\ln x\)．

\((1)\) 若曲线\(y=f\left( x \right)-g\left( x \right)\)在\(x=1\)处的切线方程为\(6x-2y-5=0\)，求实数\(a\)的值\(;\)

\((2)\) 设\(h\left( x \right)=f\left( x \right)+g\left( x \right)\)，若对任意两个不相等的正数\({{x}_{1}},{{x}_{2}},\)都有\(\dfrac{h({{x}_{1}})-h({{x}_{2}})}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}} > 2\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围\(;\)

\((3)\) 若在\(\left[ 1,e \right]\)上存在一点\({{x}_{0}}\)，使得\({f}{{{'}}}({{x}_{0}})+\dfrac{1}{{f}{{{'}}}({{x}_{0}})} < g({{x}_{0}})-{g}{{{'}}}({{x}_{0}})\)成立，求\(a\)的取值范围．

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路\(.\)记两条相互垂直的公路为\(l_{1}\)，\(l_{2}\)，山区边界曲线为\(C\)，计划修建的公路为\(l.\)如图所示，\(M\)，\(N\)为\(C\)的两个端点，测得点\(M\)到\(l_{1}\)，\(l_{2}\)的距离分别为\(5\)千米和\(40\)千米，点\(N\)到\(l_{1}\)，\(l_{2}\)的距离分别为\(20\)千米和\(2.5\)千米\(.\)以\(l_{2}\)，\(l_{1}\)所在的直线分别为\(x\)，\(y\)轴，建立平面直角坐标系\(xOy.\)假设曲线\(C\)符合函数\(y= \dfrac{a}{x^{2}+b}(a,b\)为常数\()\)模型．

\((1)\)求\(a\)，\(b\)的值；

\((2)\)设公路\(l\)与曲线\(C\)相切于\(P\)点，\(P\)的横坐标为\(t\)．

\(①\)请写出公路\(l\)长度的函数解析式\(f(x)\)，并写出其定义域．

\(②\)当\(t\)为何值时，公路\(l\)的长度最短？求出最短长度．

点\(P\)在曲线\(C\)：\(y=\sqrt{3}\cos x+1\)上移动，若曲线\(C\)在点\(P\)处的切线的倾斜角为\(α\)，则\(α\)的取值范围是

已知函数\(f(x)=\dfrac{mx-n}{x}-\ln x,(m,n\in R)\)

\((1)\)若函数\(f(x)\)在\(\left( 2,f(2) \right)\)处的切线与直线\(x-y=0\)平行，求实数\(n\)的值

\((2)\)讨论函数\(f(x)\)在区间\(\left[ 1,+\infty \right)\)上的最大值；

\((3)\)若\(n=1\)时，函数\(f(x)\)恰有两个零点\({{x}_{1}},{{x}_{2}}(0 < {{x}_{1}} < {{x}_{2}})\)，求证：\({{x}_{1}}+{{x}_{2}} > 2\)