知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=xlnx（x＞0）
（1）试求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若g（x）=f′（x），直线y=kx+b与曲线g（x）相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）不同两点，若x₀=
x1+x2
2
试证明k＞g′（x₀）

难度：较难

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2．一物体以v=3t²+10t+3的速度沿直线运动，则该物体开始运动后5秒内所经过的路程s为米．（速度单位：米/秒，路程单位：米）

难度：中等

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3．已知自由落体运动的速率v=gt（g为重力加速度），则物体在下落的过程中，从t=0到t=t₀所走的路程为（　　）

A．

gt₀²

B．gt₀²

C．

gt₀²

D．

gt₀²

难度：较易

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4．设函数f（x）=

sin

，x≠0

0，x=0

在x=0处f（x）（　　）

A．不连续

B．连续，但不可导

C．可导，但导数不连续

D．可导，且导数连续

难度：较难

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5．（理）一物体在F（x）=
10，0≤x≤2
3x+4，x＞2
（单位：N）的作用力下沿F相同的方向从x=0运动到x=4（单位：m），则F（x）做的功为．

难度：中等

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6．一质点做加速直线运动，其速度与时间的关系是v=t²-t+3（v单位：m/s；时间单位：s），则质点在t=2s时的瞬时加速度为 m/s²．

难度：中等

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7．某学生在复习指数函数的图象时发现：在y轴左边，y=3^x与y=2^x的图象均以x轴负半轴为渐近线，当x=0时，两图象交于点（0，1）．这说明在y轴的左边y=3^x与y=2^x的图象从左到右开始时几乎一样，后来y=2^x的图象变化加快使得y=2^x与y=3^x的图象逐渐远离，而当x经过某一值x₀以后 y=3^x的图象变化加快使得y=2^x与y=3^x的图象又逐渐接近，直到x=0时两图象交于点（0，1）．那么x₀=（　　）

A．1n（1og₃2）

B．1og

(1og23)

C．1og₃（1og₂3）-1og₂（1og₂3）

D．-1og₂3

难度：较难

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8．若曲线y=x⁴的一条切线l与直线x-4y-8=0垂直，则l的方程是．

难度：中等

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9．已知函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=
1
2
x+3，则：f（1）+f′（1）= ．

难度：中等

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10．设定义在R上的函数f（x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x （a_i∈R，i=0，1，2，3），当x=-
2
2
时，f （x）取得极大值
2
3
，并且函数y=f′（x）的图象关于y轴对称．
（1）求f （x）的表达式；
（2）试在函数f （x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-1，1]上；
（3）求证：|f（sinx）-f（cosx）|≤
2
2
3
（x∈R）．

难度：较难

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