知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知\(F(x)=\int_{-{1}}^{x}{t}(t-{4}){d}t\)，\(x∈(-1,+∞)\)．
\((1)\)求\(F(x)\)的单调区间；
\((2)\)求函数\(F(x)\)在\([1,5]\)上的最值．

难度：中等

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2．
利用微积分基本定理或定积分的几何意义求下列各函数的定积分：
\((1)\int_{0}^{1}(x^{2}{-}x){dx}(2)\int_{1}^{3}{{|}}x{-}2{|}{dx}(3)\int_{0}^{1}\sqrt{1{-}x^{2}}{dx}\)．

难度：中等

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3．如图，直线\(y=kx\)分抛物线\(y=x-x^{2}\)与\(x\)轴所围成图形为面积相等的两部分，求\(k\)的值．

难度：难

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4．
如图，一横截面为等腰梯形的沙渠，因泥沙沉积，导致水渠面边界呈抛物线型\((\)图中虚线所示\()\)，求原始的最大流量与当前最大流量的比值．

难度：中等

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5．
\((1)\)求定积分\(\int{_{-2}^{1}}|{{x}^{2}}-2|dx\)的值；

\((2)\)若复数\({{z}_{1}}=a+2i(a\in R),{{z}_{2}}=3-4i,\)且\(\dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}\)为纯虚数，求\(|{{z}_{1}}|\)．

难度：中等

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6．
如图，求直线\(y=2x+3\)与抛物线\(y={{x}^{2}}\)所围成的图形的面积．

难度：较难

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7．
如图，设点\(P\)在曲线\(y\)\(=\)\(x\)\({\,\!}^{2}\)上，从原点向\(A\)\((2,4)\)移动，记直线\(OP\)与曲线\(y\)\(=\)\(x\)\({\,\!}^{2}\)所围成图形的面积为\(S\)\({\,\!}_{1}\)，直线\(OP\)、直线\(x\)\(=2\)与曲线\(y\)\(=\)\(x\)\({\,\!}^{2}\)所围成图形的面积为\(S\)\({\,\!}_{2}\)．

\((1)\)当\(S\)\({\,\!}_{1}=\)\(S\)\({\,\!}_{2}\)时，求点\(P\)的坐标；

\((2)\)当\(S\)\({\,\!}_{1}+\)\(S\)\({\,\!}_{2}\)取最小值时，求点\(P\)的坐标及此最小值．

难度：较难

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8．
已知\(f(x)= \dfrac{kx+b}{{e}^{x}} \)．

\((\)Ⅰ\()\)若\(f(x)\)在\(x=0\)处的切线方程为\(y=x+1\)，求\(k\)与\(b\) 的值；

\((\)Ⅱ\()\)求\(∫_{0}^{1} \dfrac{x}{{e}^{x}}dx \)．

难度：中等

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9．
已知曲线\({{C}_{1}}:{{y}^{2}}=2x\)与\({{C}_{2}}:y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}} .\)求两条曲线所围图形\((\)如图所示阴影部分\()\)的面积\(S\)．

难度：较易

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10．

\((1)\)曲线\(f(x)=\sqrt{2x-4}\)在点\((4,f(4))\)处的切线方程为_____________________．

\((2)\int_{0}^{2}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}+x \right)dx}\)的值等于_____________．

\((3)\)已知复数\(z=x+yi\)，且\(\left| z-2 \right|=\sqrt{3}\)，则\(\dfrac{y}{x}\)的最大值为．

\((4)\)高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达\(110\)个，设\(x\in R\)，用\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数，并用\(\{x\}=x-[x]\)表示\(x\)的非负纯小数，则\(y=[x]\)称为高斯函数，已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)满足\({{a}_{1}}=\sqrt{3},{{a}_{n+1}}=[{{a}_{n}}]+\dfrac{1}{\{{{a}_{n}}\}},(n\in {{N}^{*}})\)，则\({{a}_{2017}}=\)__________．

难度：较难

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