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          共50条信息

            • 1． 罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+
              		x
              ）x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
              （1）试写出y关于x的函数关系式；
              （2）当m=96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？
              难度：中等
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            • 2． 设函数f（x）=lnx-ax在点A（1，f（1））处的切线为l．
              （1）证明：无论a为何值，函数f（x）的图象恒在直线l的下方（点A除外）；
              （2）设点Q（x0，f（x0）），当x0＞1时，直线QA的斜率恒小于2，求实数a的取值范围．
              难度：较难
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            • 3． 某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和80千米，点N到l1的距离为100千米，以l1，l2 所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=
              a
              x
              模型（其中a为常数）．
              （1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．
              ①请写出公路L长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
              ②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度．
              （2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积．
              难度：较难
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            • 4． 已知函数f（x）=lnx-ax-3（a≠0）
              （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
              （Ⅱ）若对于任意的a∈[1，2]，若函数g（x）=x3+
              x2
              2
              [m-2f′（x）]在区间（a，3）上有最值，求实数m的取值范围；
              （Ⅲ）求证：ln（
              1
              22
              +1）+ln（
              1
              32
              +1）+ln（
              1
              42
              +1）+…+ln（
              1
              n2
              +1）＜
              2
              3
              （n≥2，n∈N*）．
              难度：较难
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            • 5． 设函数f（x）=emx-mx2．
              （1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线L1的方程；
              （2）当m＞0时，要使f（x）≥1对一切实数x≥0恒成立，求实数m的取值范围；
              （3）求证：
              n
              i=1
              e-i(i+1)＜
              1
              		e
              +
              1
              3
              -
              1
              2n+1
              ．
              难度：较难
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            • 6． 某工厂在2013年底投入100万元，购入一套污水处理设备，该设备每年的运转费用是1万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该工厂使用该设备x（x∈N*）年的总费用为y（万元）．
              （1）将y表示成x的函数（总费用=购入费用+运转费用+维护费用）；
              （2）求该设备的最佳使用年限（即使用该设备年平均费用最低的年限）．
              难度：中等
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            • 7． 已知函数f(x)=
              4x
              3x2+3
              ，函数g(x)=
              1
              3
              ax3-a2x(a≠0)              ，若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2]，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（　　）
              A．（0，+∞）
              B．[
              1
              3
              ，1]
              C．[
              1
              3
              ，+∞)
              D．（0，1]
              难度：较难
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            • 8． 已知函数f（x）=x-1-alnx（其中a为参数）．
              （Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
              （Ⅱ）若对任意x＞0都有f（x）≥0成立，求a的取值范围；
              （Ⅲ）点A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=f（x）上的两点，且0＜x1＜x2，设直线AB的斜率为k，x0=
              x1+x2
              2
              ，当k＞f'（x0）时，证明a＜0．
              难度：较难
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            • 9． 已知：已知函数f（x）=-
              1
              3
              x3+
              1
              2
              x2              +2ax，
              （Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为-6，求实数a；
              （Ⅱ）若a=1，求f（x）的极值；
              （Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为-
              16
              3
              ，求f（x）在该区间上的最大值．
              难度：较难
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            • 10． 设函数f（x）=x•1nx，g（x）=ax2-2ax+1．
              （1）求函数f（x）的单调区间；
              （2）若x∈[1，2]，a∈[1，2]，求证：f（x）≥g（x）．
              难度：较难
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