知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁=1，a_n+1=
an
an+3
（n∈N^*）．
（1）求证：{
1
an
+
1
2
}是等比数列，并求{a_n}的通项公式a_n；
（2）数列{b_n}满足b_n=（3ⁿ-1）.
n
2n
．a_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，
若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+
n
2n-1
对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

难度：较难

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2．已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₄=20，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nlog
1
2
a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

难度：较难

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3．已知非零数列{a_n}满足a₁=1，a_na_n+1=a_n-2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{1+
1
an
}是等比数列；
（2）若关于n的不等式
1
n+log2(1+
1
a1
)
+
1
n+log2(1+
1
a2
)
+…+
1
n+log2(1+
1
an
)
＜m-3有解，求整数m的最小值；
（3）在数列{1+
1
an
-(-1)n}中，是否存在首项、第r项、第s项（1＜r＜s≤6），使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的r、s；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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4．已知数列a_n=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
（n∈N^*）
（1）若a＞1，对于任意n≥2，不等式a_2n-a_n＞
7
12
（log_（a+1）x-1og_ax+1）恒成立，求x的取值范围；
（2）求证：
a
2
n
+
7
4
＞2（a₁+
a2
2
+
a3
3
+…+
an
n
）（n∈N^*）

难度：较难

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5．设正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁≠a₂．a_m、a_k、a_n是数列{a_n}中满足a_n-a_k=a_k-a_m的任意项．
（1）求证：m+n=2k；
（2）若
Sm
，
Sk
，
Sn
也成等差数列，且a₁=1，求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：
1
Sm
+
1
Sn
≥
2
Sk
．

难度：较难

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6．已知函数f（x）=log₃（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a_n=3^f（n），n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
an
2n
，T_n=b₁+b₂+…b_n，求证：T_n＜3．

难度：中等

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7．函数f(x)=
3x
2x+3
，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，
（I）求证：数列{
1
an
}是等差数列；
（II）令b_n=a_n-1•a_n（n≥2），b₁=3，s_n=b₁+b₂+…+b_n，若Sn＜
m-2003
2
对一切n∈N^*成立，求最小正整数m．

难度：较难

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8．已知递增等比数列{a_n}，满足a₁=1，且a₂a₄-2a₃a₅+a₄a₆=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a_n+
1
2
，求数列{a_n²•b_n}的前n项和S_n；
（3）在（2）的条件下，令c_n=
1
bnbn+1bn+2
，{c_n}的前n项和为T_n，若T_n＞λ恒成立，求λ的取值范围．

难度：较难

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9．在数列{a_n}中，a₁=
5
3
，且3a_n+1=a_n+2．
（1）设b_n=a_n-1，证明：数列{b_n}是等比数列，并求出{a_n}的通项公项；
（2）设cn=lo
g
(an-1)2
4
3
，数列{
1
cncn+2
}的前n项和为T_n，是否存在最小的正整数m，使得对于任意的n∈N^*，均有T_n＜
m
16
成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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10．已知数列{a_n}为等差数列，且各项均不为0，T_n为其前n项和，T_2n-1=a_n²，n∈N₊，若不等式
4×(-1)n
n
+1≥
t(-1)n+1
an+1
对任意的正整数n恒成立，则t的取值集合为．

难度：较难

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