知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=sin（2x-
π
6
）+2cos²x-1；
（1）求f（x）在[-
π
2
，π]上的单调递增区间；
（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=
1
2
，b，a，c成等差数列，且
AB
•
AC
=9，求a的值．

难度：中等

解析收藏试题篮
2．设函数f_n（x）=2sin（a_nx+
π
6
）（a_n＞0，n∈N^*），其周期为n（n+1），S_n是数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求a_n，S_n的表达式；
（Ⅱ）设b_n=f_n（1），求{b_n}的最大、最小项的值；
（Ⅲ）在（2）的条件下，证明：b_n＜S_n．

难度：较难

解析收藏试题篮
3．设数列{b_n}的前n项和为S_n，对任意的n∈N^*，都有b_n＞0，且S_n²=b₁³+b₂³+…b_n³；数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=（1+cos2
bnπ
2
）a_n+sin2
bnπ
2
，n∈N^*．
（Ⅰ）求b₁，b₂的值及数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：
a2
a1
+
a4
a3
+
a6
a5
…+
a2n
a2n-1
＜n+
19
12
对一切n∈N⁺成立．

难度：较难

解析收藏试题篮
4．（1）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且bcosC+ccosB=3acosB，
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若
BA
•
BC
=2且b=2
2
，求a和c的值．
（2）已知数列{a_n}满足递推关系式a_n=2a_n-1+1（n≥2），其中a₄=15．求数列{a_n}的通项公式和数列{a_n}的前n项和S_n．

难度：较易

解析收藏试题篮
5．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A、B、C所对的边长，a，b，c成等比数列．
（1）求B的取值范围；
（2）若x=B，关于x的不等式cos2x-4sin（
π
4
+
x
2
）sin（
π
4
-
x
2
）+m＞0恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

解析收藏试题篮
6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*），数列{b_n}满足b₁=1，且点P（b_n，b_n+1）（n∈N^*）在直线y=x+2上．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和D_n；
（Ⅲ）设c_n=a_n•sin²
nπ
2
-bn•cos2
nπ
2
(n∈N*)，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

难度：中等

解析收藏试题篮
7．已知f（x）=2sin（
π
3
x+
π
6
），集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a_n}（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足：b 1=1，bn+1=bn+a2n，求{b_n}的通项公式．

难度：中等

解析收藏试题篮
8．在数1和2之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记为A_n，令a_n=log₂A_n，n∈N．
（1）求数列{A_n}的前n项和S_n；
（2）求T_n=tana₂•tana₄+tana₄•tana₆+…+tana_2n•tana_2n+2．

难度：较难

解析收藏试题篮
9．已知向量
a
=（cos³φ，sin³φ），
b
=（cos（α-φ），sin（α-φ）），φ∈[0，
π
4
]，
b
=x
a
（x＞0）．
（1）求|
a
|的取值范围；
（2）设
3
cosα=y，求y与x的函数关系式y=f（x），并指出其定义域；
（3）设正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

解析收藏试题篮
10．已知函数f（x）=sin²（
x
2
+
π
12
）+
3
sin（
x
2
+
π
12
）cos（
x
2
+
π
12
）一
1
2
．
（1）在△ABC中，若sinC=2sinA，B为锐角且有f（B）=
3
2
，求角A，B，C；
（2）若f（x）（x＞0）的图象与直线y=
1
2
交点的横坐标由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，求数列{x_n}的前2n项和，n∈N^*．

难度：中等

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷