知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，已知A（1，1），B（5，4），C（2，5），设向量
a
是与向量
AB
垂直的单位向量．
（1）求单位向量
a
的坐标；
（2）求向量
AC
在向量
a
上的投影；
（3）求△ABC的面积S_△ABC．

难度：较难

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2．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知点A（1，2），B（2，3），C（-2，5）．
（Ⅰ）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（Ⅱ）若点Q是直线OA上的任意一点，求
QB
•
QC
的最小值．

难度：中等

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3．设向量
a
=(m，n)，
b
=(s，t)，定义两个向量
a
，
b
之间的运算“⊗”为
a
⊗
b
=(ms，nt)，若向量
p
=(1，2)，
p
⊗
q
=(-3，-4)，则向量
q
= ．

难度：较易

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4．已知向量
AB
=（1，-4），向量
BC
=（3，1），则|
AC
|= ．

难度：较易

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5．已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且
AO
=
OC
，
DO
=
OB
，求证：四边形ABCD是平行四边形．

难度：较易

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6．设
a
=（-2，3），
b
=（-8，5），则5
a
-3
b
= ．

难度：较易

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7．向量
m
和
n
的起点都在坐标原点．
m
=（
t2-5
2a
，t）．
n
=（-
t2-5
2b
，t）（a，b为正常数，t∈R）．
（1）当实数t变化时．求
m
和
n
的终点的运动轨迹C₁和C₂
（2）有长方形ABCD的四个顶点都在（1）中的C₁与C₂所围成图形的边界上．且长方形各边分别与x轴．y轴平行．顶点A，B在C₂上．A（x，y），求该长方形的面积f（x）及其定义域；
（3）在上述条件下．若所有长方形ABCD中面积最大的是正方形，求a与b的关系．

难度：中等

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8．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是（3，7），（4，6），（1，-2）．求第四个顶点的坐标．

难度：较易

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9．若
a
=（1，1），
b
=（1，-1），
c
=（1，2）．用
a
，
b
表示
c
，则
c
= ．

难度：较易

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10．已知
a
=（-1，2），终点坐标是（2，1），则起点坐标是．

难度：较易

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