知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．实数m分别取什么数值时，复数z=（m²+5m+6）+（m²-2m-15）i
（1）对应的点在x轴的上方；
（2） $%20%5Cfrac%20%7Bz%7D%7B1%2Bi%7D$ 为纯虚数．

难度：易

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2．已知复数z=（2m²-3m-2）+（m²-3m+2）i．
（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；
（Ⅱ）当m=0时，化简 $%20%5Cfrac%20%7Bz%5E%7B2%7D%7D%7Bz%2B5%2B2i%7D$ ．

难度：中等

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3．（1）已知M={2，（m²-2m）+（m²+m-2）i}，P={-1，2，4i}，若M∪P=P，求实数m的值．
（2）已知方程x²+4x+a=0（a∈R）的一个根为x₁=-2+i，求a的值和方程的另一个根．

难度：易

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4．已知复数z满足|3+4i|+z=1+3i．
（Ⅰ）求 $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bz%7D$ ；
（Ⅱ）求 $%20%5Cfrac%20%7B%281%2Bi%29%5E%7B2%7D%283%2B4i%29%7D%7Bz%7D$ 的值．

难度：易

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5．已知i为虚数单位，复数z₁=2i，z₂=1-3i，z₃=1-2i，且 $%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7Bz_%7B1%7D%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7Bz_%7B2%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7By%7D%7Bz_%7B3%7D%7D$
（1）求实数x，y的值；
（2）求 $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bz_%7B1%7D%7D$ • $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bz_%7B2%7D%7D$ ．

难度：易

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6．已知i是虚数单位，复数 $z%3D%20%5Cfrac%20%7B%281%2Bi%29%5E%7B2%7D%2B3%281-i%29%7D%7B2%2Bi%7D$ ，若z²+az+b=1+i，求实数a，b的值．

难度：易

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7．计算 $%20%5Cfrac%20%7B2%2B2i%7D%7Bi%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%2Bi%7D%7B1-i%7D$ ．

难度：易

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8．复数 $z_%7B1%7D%3Da%2B5%2B%2810-a%5E%7B2%7D%29i$ ，z₂=1-2a+（2a-5）i，其中a∈R．
（1）若a=-2，求z₁的模；
（2）若 $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bz_%7B1%7D%7D%2Bz_%7B2%7D$ 是实数，求实数a的值．

难度：易

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9．计算：
（1） $%20%5Cfrac%20%7B-2%20%5Csqrt%20%7B3%7Di%2B1%7D%7B1%2B2%20%5Csqrt%20%7B3%7Di%7D$ +（ $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B1%2Bi%7D$ ）²⁰⁰⁰+ $%20%5Cfrac%20%7B1%2Bi%7D%7B3-i%7D$ ；
（2） $%20%5Cfrac%20%7B5%284%2Bi%29%5E%7B2%7D%7D%7Bi%282%2Bi%29%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B%281-i%29%5E%7B2%7D%7D$ ．

难度：易

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10．设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0，2π）．
（1）用数学归纳法证明：（cosθ+isinθ）ⁿ=cosnθ+isinnθ；
（2）已知z= $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ +i，试利用（1）的结论计算z¹⁰；
（3）设复数z=a+bi（a，b∈R，a²+b²≠0），求证：|zⁿ|=|z|ⁿ（n∈N*）．

难度：较易

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