知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．设 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7Bx%7D%7Bx%2B2%7D%28x%EF%BC%9E0%29$ ，数列{a_n}满足 $a_%7B1%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Ba%2B2%7D$ （a＞0），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．

难度：较易

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2．某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：① $%20%5Csqrt%20%7B1%7D$ + $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ＜2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ；② $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ + $%20%5Csqrt%20%7B4%7D$ ＜2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ；③ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ + $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ＜2 $%20%5Csqrt%20%7B4%7D$
（1）已知 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D%E2%88%88%281.41$ ，1.42）， $%20%5Csqrt%20%7B3%7D%E2%88%88%281.73$ ，1.74）， $%20%5Csqrt%20%7B5%7D%E2%88%88%282.23$ ，2.24），请从以上三个式子中任选一个，结合此范围，验证其正确性（注意不能近似计算）；
（2）请将此规律推广至一般情形，并证明之．

难度：较易

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3．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+a_n=2n+1，
（1）写出a₁，a₂，a₃并猜想a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．

难度：较易

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4．证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．
2cos $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ = $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ；
2cos $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B8%7D$ = $%20%5Csqrt%20%7B2%2B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D$ ；
2cos $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B16%7D$ = $%20%5Csqrt%20%7B2%2B%20%5Csqrt%20%7B2%2B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7D$ ；
…

难度：难

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5．观察此表：
1，
2，3，
4，5，6，7，
8，9，10，11，12，13，14，15，
…问：
（1）此表第n行的最后一个数是多少？
（2）此表第n行的各个数之和是多少？
（3）2008是第几行的第几个数？

难度：较易

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6．阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ----------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=B有α= $%20%5Cfrac%20%7BA%2BB%7D%7B2%7D$ ，β= $%20%5Cfrac%20%7BA-B%7D%7B2%7D$ 代入③得 sinA+sinB=2sin $%20%5Cfrac%20%7BA%2BB%7D%7B2%7D$ cos $%20%5Cfrac%20%7BA-B%7D%7B2%7D$ ．
（1）利用上述结论，试求sin15°+sin75°的值．
（2）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin $%20%5Cfrac%20%7BA%2BB%7D%7B2%7D$ sin $%20%5Cfrac%20%7BA-B%7D%7B2%7D$ ．

难度：较易

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7．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立：
（1）如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；
（2）如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．

难度：较易

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8．如图1，若射线OM，ON上分别存在点M₁，M₂与点N₁，N₂，则 $%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3OM_%7B1%7DN_%7B1%7D%7D%7D%7BS_%7B%E2%96%B3OM_%7B2%7DN_%7B2%7D%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7BOM_%7B1%7D%7D%7BOM_%7B2%7D%7D$ • $%20%5Cfrac%20%7BON_%7B1%7D%7D%7BON_%7B2%7D%7D$ ；如图2，若不在同一平面内的射线OP，OQ和OR上分别存在点P₁，P₂，点Q₁，Q₂和点R₁，R₂，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由．

难度：较易

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9．（1）下面图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，在横线上方处画出下一个适当的图形；

（2）图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在如图所示的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，求着色三角形的个数的通项公式b_n

（3）依照（1）中规律，继续用单位正方形绘图，记每个图形中单位正方形的个数为a_n（n=1，2，3，…），设 $c_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B2a_%7Bn%7Db_%7Bn%7D%7D%7Bn%2B1%7D$ ，求数列{c_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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10．在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时， $a_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B3a_%7Bn-1%7D%7D%7Ba_%7Bn-1%7D%2B3%7D$
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想数列{a_n}的通项a_n，并证明你的结论．

难度：较易

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