知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．
（1）g₁（x）=g（x），g_n+1（x）=g（g_n（x）），n∈N₊，求g₁（x），g₂（x），g₃（x），并猜想g_n（x）的表达式（不必证明）；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设n∈N₊，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n-f（n）的大小，并用数学归纳法加以证明．

难度：较易

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2．观察以下5个等式：
-1=-1
-1+3=2
-1+3-5=-3
-1+3-5+7=4
-1+3-5+7-9=-5
…
照以上式子规律：
（1）写出第6个等式，并猜想第n个等式；（n∈N^*）
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立．（n∈N^*）

难度：较易

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3．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图①②③④是刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成的，小正方形的个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣，设第n个图案包含f（n）个小正方形．
（1）求出f（5）的值；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并根据你的关系式求出f（n）的解析式．

难度：较易

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4．设A_2n=（a₁，a₂，…，a_2n）是由2n个实数组成的有序数组，满足下列条件：①a_i∈{1，-1}，i=1，2，…，2n；②a₁+a₂+…+a_2n=0；③a₁+a₂+…+a_i≥0，i=1，2，…，2n-1．
（Ⅰ）当n=3时，写出满足题设条件的全部A₆；
（Ⅱ）设n=2k-1，其中k∈N^*，求a₁+a₂+…+a_n的取值集合；
（Ⅲ）给定正整数n，求A_2n的个数．

难度：中等

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5．某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数：
（1）cos（-60°）+cos60°+cos180°；
（2）cos（-27°）+cos107°+cos227°；
（3）cos30°+cos150°+cos270°；
（4）cos40°+cos160°+cos280°．
（Ⅰ）试从上述四个式子中选择一个式子，进行化简求值；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，请你写出一个以题设的四个式子为特例的一般性命题，并给出证明．

难度：易

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6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，3S_n=a_n（n+2），n∈N^*．
（Ⅰ）求a₂，a₃并猜想a_n的表达式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．

难度：较易

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7．将正整数1，2，3，4，…，n²（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a，b（a＞b）的比值 $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bb%7D$ ，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．
（1）当n=2时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；
（2）若a_ij表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（1≤i≤n，1≤j≤n），且满足 $a_%7Bij%7D%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7Bi%2B%28j-i-1%29n%2Ci%3Cj%7D%7Bi%2B%28n-i%2Bj-1%29n%2Ci%5Cgeq%20j%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 请分别写出n=3，4，5时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；
（3）对于由正整数1，2，3，4，…，n²排成的n行n列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合{n²-n+1，n²-n+2，…，n²}，记其“特征值”为λ，求证： $%CE%BB%E2%89%A4%20%5Cfrac%20%7Bn%2B1%7D%7Bn%7D$ ．

难度：中等

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8．（1）已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则 $%20%5Cfrac%20%7BOA%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BAA%5E%7B%27%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BOB%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BBB%5E%7B%27%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BOC%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BCC%5E%7B%27%7D%7D%3D1$ ，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： $%20%5Cfrac%20%7BOA%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BAA%5E%7B%27%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BOB%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BBB%5E%7B%27%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BOC%5E%7B%E2%80%B2%7D%7D%7BCC%5E%7B%27%7D%7D%3D%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3OBC%7D%7D%7BS_%7B%E2%96%B3ABC%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3OCA%7D%7D%7BS_%7B%E2%96%B3ABC%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7BS_%7B%E2%96%B3OAB%7D%7D%7BS_%7B%E2%96%B3ABC%7D%7D%3D1$ ．
请运用类比思想，对于空间中的四面体A-BCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明．
（2）已知0＜x＜2，0＜y＜2，0＜z＜2，求证：x（2-y），y（2-z），z（2-x）不都大于1．

难度：较易

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9．对于数列{x_n}，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列．某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为a₁，公差为d的无穷等差数列{a_n}的子数列问题，为此，他取了其中第一项a₁，第三项a₃和第五项a₅．
（1）若a₁，a₃，a₅成等比数列，求d的值；
（2）在a₁=1，d=3 的无穷等差数列{a_n}中，是否存在无穷子数列{b_n}，使得数列（b_n）为等比数列？若存在，请给出数列{b_n}的通项公式并证明；若不存在，说明理由；
（3）他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数a，公比为正整数q（q＞1）的无穷等比数列{c_n}，总可以找到一个子数列{b_n}，使得{d_n}构成等差数列”．于是，他在数列{c_n}中任取三项c_k，c_m，c_n（k＜m＜n），由c_k+c_n与2c_m的大小关系去判断该命题是否正确．他将得到什么结论？

难度：较难

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10．求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．
例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”．
试给出问题“在平面直角坐标系xoy中，求点P（2，1）到直线3x+4y=0的距离．”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题．

难度：中等

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