知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．若存在n个不同的正整数a₁，a₂，…，a_n，对任意1≤i＜j≤n，都有 $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bi%7D%2Ba_%7Bj%7D%7D%7Ba_%7Bi%7D-a_%7Bj%7D%7D$ ∈Z，则称这n个不同的正整数a₁，a₂，…，a_n为“n个好数”．
（1）请分别对n=2，n=3构造一组“好数”；
（2）证明：对任意正整数n（n≥2），均存在“n个好数”．

难度：较易

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2．观察下列等式：
1=1                     第一个式子
2+3+4=9                 第二个式子
3+4+5+6+7=25            第三个式子
4+5+6+7+8+9+10=49       第四个式子
照此规律下去：
（Ⅰ）写出第五个等式；
（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1= $%20%5Cfrac%20%7B2a_%7Bn%7D%7D%7B2%2Ba_%7Bn%7D%7D$ （n∈N₊）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，猜想数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）运用（Ⅰ）中的猜想，写出用三段论证明数列{ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ }是等差数列时的大前提、小前提和结论．

难度：难

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4．已知数列{a_n}中，a₁= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ，a_n= $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn-1%7D%7D%7B3a_%7Bn-1%7D%2B1%7D$ （n≥2，n∈N₊）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式a_n．
（Ⅱ）用数学归纳法证明你猜想的结论．

难度：较易

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5．观察：
（1）tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1；
（2）tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1．
由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论．

难度：难

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6．设集合M={1，2，3，…，n}（n≥3），记M的含有三个元素的子集个数为S_n，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T_n．
（1）求 $%20%5Cfrac%20%7BT_%7B3%7D%7D%7BS_%7B3%7D%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7BT_%7B4%7D%7D%7BS_%7B4%7D%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7BT_%7B5%7D%7D%7BS_%7B5%7D%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7BT_%7B6%7D%7D%7BS_%7B6%7D%7D$ 的值；
（2）猜想 $%20%5Cfrac%20%7BT_%7Bn%7D%7D%7BS_%7Bn%7D%7D$ 的表达式，并证明之．

难度：难

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7．对于数对序列P：（a₁，b₁），（a₂，b₂），…，（a_n，b_n），（a_i，b_i∈R⁺，i=1，2，3，…，n），记f₀（y）=0（y≥0），f_k（y）= $%20maxx_%7Bk%7D%3D0%EF%BC%8C1%EF%BC%8C2%EF%BC%8C3%EF%BC%8C%E2%80%A6%EF%BC%8Cm$ {b_kx_k+f_k-1（y-a_kx_k）}（y≥0，1≤k≤n），其中m为不超过 $%20%5Cfrac%20%7By%7D%7Ba_%7Bk%7D%7D$ 的最大整数．（注： $%20maxx_%7Bk%7D%3D0%EF%BC%8C1%EF%BC%8C2%EF%BC%8C3%EF%BC%8C%E2%80%A6%EF%BC%8Cm$ {b_kx_k+f_k-1（y-a_kx_k）}表示当x_k取0，1，2，3，…，m时，b_kx_k+f_k-1（y-a_kx_k）中的最大数）
已知数对序列P：（2，3），（3，4），（3，p），回答下列问题：
（Ⅰ）写出f₁（7）的值；
（Ⅱ）求f₂（7）的值，以及此时的x₁，x₂的值；
（Ⅲ）求得f₃（11）的值时，得到x₁=4，x₂=0，x₃=1，试写出p的取值范围．（只需写出结论，不用说明理由）．

难度：中等

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8．设a₁=1，a_n+1= $%20%5Csqrt%20%7Ba_%7Bn%7D%5E%7B2%7D-2a_%7Bn%7D%2B2%7D$ +1
（1）求a₂，a₃，a₄，并猜想通项公式．
（2）用数学归纳法证明（1）的猜想．

难度：较易

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9．如图，由若干个小正方形组成的k层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k层有k个小正方形，除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第k层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为x₁，x₂，…x_k，其中x_i∈{0，1}（1≤i≤k），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为x₀；
（1）当k=4时，若要求x₀为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？
（2）当k=11时，若要求x₀为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？

难度：中等

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10．观察下列等式：
$%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D%281%2B1%29%3D2%C3%971%20%5C%5C%20%282%2B1%29%282%2B2%29%3D2%5E%7B2%7D%C3%971%C3%973%20%5C%5C%20%283%2B1%29%283%2B2%29%283%2B3%29%3D2%5E%7B3%7D%C3%971%C3%973%C3%975%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.$
…
照此规律，第n个等式可为 ______ ．

难度：难

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