知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在2018年2月K12联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布N（95，17.5²），数学成绩的频率分布直方图如图：
（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？
（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X人，求X的分布列和数学期望．
（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？
①若X～N（μ，σ²），
则P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.68，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.96
② $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$
③

P（K²≥K₀） 0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001

K₀ 0.455 0.708 … 6.635 7.879 10.828

难度：难

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2．为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康概念．手机APP也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”．杨老师的微信朋友圈内有600位好友参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友（女20人，男 20人），统计其在某一天的走路步数．其中，女性好友的走路步数数据记录如下：
5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860
8753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980
男性好友走路的步数情况可分为五个类别：A（0～2000）步）（说明：“0～2000”表示大于等于0，小于等于2000．下同），B（2000～5000步），C（5001～000步），D（8001～10000步），E（10001步及以E），且B，D，E三种类别人数比例为1：3：4，将统计结果绘制如图所示的柱形图．
若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“卫健型“，否则被系统认定为“进步型”．
（1）若以杨老师抽取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的600名好友中，每天走路步数在5001～10000步的人数；
（2）请根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关？

卫健型进步型总计

男 20

女 20

总计 40

（3）若按系统认定类型从选取的样本数据中在男性好友中按比例选取10人，从中任意选取3人，记选到“卫健型”的人数为 x；女性好友中按比例选取5人，从中任意选取2人，记选到“卫健型”的人数为 y，求事件“|x-y|＞1”的概率．
附：K²=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），

P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.025 0.010

k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635

难度：较易

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3．共享单车已成为一种时髦的新型环保交通工具，某共享单车公司为了拓展市场，对A，B两个品牌的共享单车在编号分别为1，2，3，4，5的五个城市的用户人数（单位：十万）进行统计，得到数据如下：

城市
品牌 1 2 3 4 5

A品牌 3 4 12 6 8

B品牌 4 3 7 9 5

（Ⅰ）若共享单车用户人数超过50万的城市称为“优城”，否则称为“非优城”，据此判断能否有85%的把握认为“优城”和共享单车品牌有关？
（Ⅱ）若不考虑其它因素，为了拓展市场，对A品牌要从这五个城市选择三个城市进行宣传，
（ⅰ）求城市2被选中的概率；
（ⅱ）求在城市2被选中的条件下城市3也被选中的概率．
附：参考公式及数据

P（K²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k 2.072 2.706 3.845 5.024 6.635 7.879 10.828

$K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$

难度：较易

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4．郑汴一体化是依托郑州省会城市资源优势发展开封的省级战略，实施至今，取得了一系列的成就：两城电信同价，金融同城，郑开大道全线贯通，城际列车实常态化运营．随着郑汴一体化的深入推进，很多人认为郑州开封未来有望合并．为了解市民对郑汴合并的态度，现随机抽查55人，结果按年龄分类统计形成如下表格：

支持反对合计

不足35岁 20

35岁以上 30

合计 25 55

（1）请完成上面的2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为市民对郑汴合并的态度与年龄有关？
（2）在上述样木中用分层抽样的方法，从攴持郑汴合并的两组市民中随机抽取6人作进一步调查，从这6人中任选2人，求恰有1位“不足35岁”的市民和1位“35岁及以上”的市民的概率．
附：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，n=a+b+c+d

P（K²≥k₀） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001

k₀ 2.706 3.814 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：较易

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5．迈入2018年后，直播答题突然就火了．在1月6号的一场活动中，最终仅有23人平分100万，这23人可以说是“学霸”级的大神．随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如表：

男女

认为直播答题模式可持续 360 280

认为直播答题模式不可持续 240 120

（ I）根据表格中的数据，能否在犯错误不超过0.5%的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？
（ II）已知在参与调查的1000人中，有20%曾参加答题游戏瓜分过奖金，而男性被调查者有15%曾参加游戏瓜分过奖金，求女性被调查者参与游戏瓜分过奖金的概率．
参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ．
临界值表：

P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：较易

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6．某高中为了解高中学生的性别和喜欢打篮球是否有关，对50名高中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

喜欢打篮球不喜欢打篮球合计

男生 5

女生 10

合计

已知在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢打篮球的学生的概率为 $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B5%7D$
（Ⅰ）请将上述列联表补充完整；
（Ⅱ）判断是否有99.5%的把握认为喜欢打篮球与性别有关？
附：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$

p（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

难度：较难

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7．第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：

收看时间（单位：小时）	[0，1）	[1，2）	[2，3）	[3，4）	[4，5）	[5，6）
收看人数	14	30	16	28	20	12

（Ⅰ）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全2×2列联表：

	男	女	合计
体育达人	40	______	______
非体育达人	______	30	______
合计	______	______	______

并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；
（Ⅱ）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座．求抽取的这两人恰好是一男一女的概率．
附表及公式：

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$

难度：较易

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8．心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30名女20名），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况如表：（单位：人）

几何题代数题总计

男同学 22 8 30

女同学 8 12 20

总计 30 20 50

（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两名女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
附表及公式

P（k²≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

$k%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ．

难度：较易

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9．
移动支付在中国大规模推广五年之后，成功在10亿移动互联网用户中获得了九成的渗透率，这大约是中国自宽带和手机之后，普及率最高的一项产品，甚至，移动支付被视为新时代中国的四大发明之一．近日，IpsosChina针对第三方移动支付市场在一家大型超市进行了顾客使用移动支付情况的调查．调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据：
人数年龄段

类型
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60]
使用移动支付
45
40
25
15
不使用移动支付
0
15
15
45
（1）为鼓励顾客使用移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有顾客10000人购物，根据上述数据，用频率估计概率，该超市当天应准备多少个环保购物袋？
（2）根据上述数据完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄段有关．

年龄＜40
年龄≥40
总计
使用移动支付

不使用移动支付

总计

200
附：K²= $%5Cfrac%7Bn%28%5Ctext%7Bad%7D%5Ctext%7B-%7D%5Ctext%7Bbc%7D%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%5Ctext%7B%2B%7Db%29%28c%5Ctext%7B%2B%7Dd%29%28a%5Ctext%7B%2B%7Dc%29%28b%5Ctext%7B%2B%7Dd%29%7D$ ，
P（K²≥k）
0.050 0.010 0.001
k
3.841 6.635 10.828

难度：中等

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10．为了解市民对某项政策的态度，随机抽取了男性市民25人，女性市民75人进行调查，得到以下的2×2列联表：

支持不支持合计

男性 20 5 25

女性 40 35 75

合计 60 40 100

（1）根据以上数据，能否有97.5%的把握认为市民“支持政策”与“性别”有关？
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有市民中，采用随机抽样的方法抽取4位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的4位市民中持“支持”态度的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ．

P（K²≥k₀） 0.15 0.100 0.050 0.025 0.010

k₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635

难度：中等

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0/40

进入组卷

P（K²≥K₀）	0.50	0.40	…	0.010	0.005	0.001
K₀	0.455	0.708	…	6.635	7.879	10.828

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.845	5.024	6.635	7.879	10.828

P（K²≥k₀）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.706	3.814	5.024	6.635	7.879	10.828

	男	女
认为直播答题模式可持续	360	280
认为直播答题模式不可持续	240	120

	喜欢打篮球	不喜欢打篮球	合计
男生		5
女生	10
合计

	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50

人数年龄段类型	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60]
使用移动支付	45	40	25	15
不使用移动支付	0	15	15	45

	年龄＜40	年龄≥40	总计
使用移动支付
不使用移动支付
总计			200

城市品牌	1	2	3	4	5
A品牌	3	4	12	6	8
B品牌	4	3	7	9	5

	支持	反对	合计
不足35岁	20
35岁以上			30
合计		25	55

	支持	不支持	合计
男性	20	5	25
女性	40	35	75
合计	60	40	100