知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）

平均每天锻炼的时间/分钟 [0，10） [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60）

总人数 20 36 44 50 40 10

将学生日均体育锻炼时间在[40，60）的学生评价为“锻炼达标”．
（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表；

锻炼不达标锻炼达标合计

男

女 20 110

合计

并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？
（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽取5人，进行体育锻炼体会交流，再从这5人中选出2人作重点发言，求作重点发言的2人中，至少有1人是女生的概率．
参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d
临界值表

P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.025 0.010

k₀ 2.706 3.841 5.024 6.635

难度：中等

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2．有人认为在机动车驾驶技术上，男性优于女性．这是真的么？某社会调查机构与交警合作随机统计了经常开车的100名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违法事件发生，得到下面的列联表：

	男	女	合计
无	40	35	75
有	15	10	25
合计	55	45	100

附：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$

P（K²≥k₀）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10
k₀	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706

据此表，可得（　　）

A．认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足50%

B．认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过50%

C．认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足60%

D．认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过60%

难度：中等

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3．某公司甲、乙两个班组分别试生产同一种规格的产品，已知此种产品的质量指标检测分数不小于70时，该产品为合格品，否则为次品，现随机抽取两个班组生产的此种产品各100件进行检测，其结果如表：

质量指标检测分数	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，IOO]
甲班组生产的产品件数	7	18	40	29	6
乙班组生产的产品件数	8	12	40	32	8

（1）根据表中数据，估计甲、乙两个班组生产该种产品各自的不合格率；
（2）根据以上数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该种产品的质量与生产产品的班组有关？

	甲班组	乙班组	合计
合格品
次品
合计

（3）若按合格与不合格的比例，从甲班组生产的产品中抽取4件产品，从乙班组生产的产品中抽取5件产品，记事件A：从上面4件甲班组生产的产品中随机抽取2件，且都是合格品；事件B：从上面5件乙班组生产的产品中随机抽取2件，一件是合格品，一件是次品，试估计这两个事件哪一种情况发生的可能性大．
附： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

难度：较易

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4．为了判断高中三年级学生是否选择文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

理科文科

男 13 10

女 7 20

已知P（K²≥3.841）≈0.05，P（K²≥5.024）≈0.025．
根据表中数据，得到K²的观测值 $k%3D%20%5Cfrac%20%7B50%C3%97%2813%C3%9720-10%C3%977%29%5E%7B2%7D%7D%7B23%5Ctimes%2027%5Ctimes%2020%5Ctimes%2030%7D%E2%89%884.844$ ，则有______以上把握认为选择文科与性别有关系．

难度：较易

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5．某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：

每月完成合格产品的件数（单位：百件）	[26，28）	[28，30）	[30，32）	[32，34）	[34，36]
频数	10	45	35	6	4
男员工人数	7	23	18	1	1

（1）其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？

	非“生产能手”	“生产能手”	合计
男员工
女员工
合计

（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出（0，200]件的部分，累进计件单价为1.2元；超出（200，400]件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元，将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，没实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）不少于3100元的人数为Z，求Z的分布列和数学期望．
附：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，

P（K²≥k	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

难度：难

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6．对某校900名学生每周的运动时间进行调查，其中有男生540名，女生360名，根据性别利用分层抽样的方法，从这900名学生中选取60名学生进行分析，统计数据如表（运动时间单位：小时）．
男生运动时间统计：

　运动时间（小时） [0，3） [3，6） [6，9） [9，12） [12，15）

　人数　x 　9 　8 　12 　4

女生运动时间统计：

　运动时间（小时） [0，3） [3，6） [6，9） [9，12） [12，15）

　人数　y 　10 　5 　2 　1

（1）计算x，y的值；若每周运动时间不低于6小时的同学称为“运动爱好者”，每周运动时间低于6小时的同学称为“非运动爱好者”，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，则是否可以认为在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“‘运动爱好者’与性别有关”？

　男生　女生　合计

运动爱好者

非运动爱好者

　合计

附：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，n=a+b+c+d

P（K²≥k₀）　0.10 　0.05 　0.025 　0.010 　0.005

　k₀ 　2.706 　3.841 　5.024 　6.635 　7.879

（2）在抽取的60名学生样本中，从每周运动时间在[0，3）的同学中任取3人，记抽到的男生人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

难度：较易

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7．某仪器配件质量采用M值进行衡量．某研究所采用不同工艺，开发甲、乙两条生产线生产该配件．为调查两条生产线的生产质量，检验员每隔30min分别从两条生产线上随机抽取一个配件，测量并记录其M值．下面是甲、乙两条生产线各抽取的30个配件的M值．
甲生产线：
25.1125.3225.3625.4125.3425.4025.3825.3725.4225.39
25.3925.4325.3925.4025.4425.4425.4225.3525.4125.43
25.4325.3525.4525.3925.3625.3425.9825.4525.3825.42
乙生产线：
25.5525.4325.4425.4525.4625.4725.7825.4625.3625.38
25.3325.5625.3925.2225.4325.3125.3725.3425.3225.46
25.4625.3325.0125.4325.4025.3525.3625.3825.2325.40
经计算得
$%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx_%7B%5Ctext%7B%E7%94%B2%7D%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B30%7D$ $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B30%7Dx_%7Bi%7D$ =25.405，s_甲= $%20%5Csqrt%20%7B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B30%7D%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B30%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ =0.123， $%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx_%7B%5Ctext%7B%E4%B9%99%7D%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B30%7D%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B30%7Dy_%7Bi%7D$ =25.395，s_乙= $%20%5Csqrt%20%7B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B30%7D%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B30%7D%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20-%7D%7By%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ =0.125，其中x_i，y_i（i=1，2，……，30）
分别为甲、乙两生产线抽取的第i个配件的M值．
（1）若规定M∈（ $%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx%7D$ -3s， $%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx%7D$ +3s）的产品质量等级为合格，否则为不合格．已知产品不合格率需低于5%，生产线才能通过验收．利用样本估计总体，分析甲、乙两条生产线是否可以通过验收；
（2）若规定M∈（ $%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx%7D$ -s， $%20%5Coverset%7B%20-%7D%7Bx%7D$ +s）时，配件质量等级为优等，否则为不优等．
①请统计上面提供的数据，完成下面的2×2列联表．

产品质量等级优等产品质量等级不优等小计

甲生产线

乙生产线

小计

②根据上面的列联表，能否有90%以上的把握认为“配件质量等级与生产线有关”？
附：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d．

P（K²≥k₀） 0.10 0.05 0.010 0.001

k₀ 2.706 3.841 6.635 10.828

难度：中等

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8．为推动更多人阅读，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”．设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，经统计这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3：1．将这200人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；

电子阅读纸质阅读合计

青少年

中老年

合计

（Ⅱ）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成上面2×2列联表，则是否有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关？

p（K²≥k₀） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010

k₀ 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635

K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ．

难度：较易

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9． 2016年6月22日，“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕．为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制频率分布直方图，如图所示，其分组区间为：[15，25），[25，35），[35，45），[45，55），[55，65），[65，75]．把年龄落在区间[15，35）和[35，75]内的人分别称为“青少年”和“中老年”．
（Ⅰ）根据频率分布直方图求样本的中位数（保留两位小数）和众数；
（Ⅱ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”．

关注不关注合计

青少年 15

中老年

合计 50 50 100

附：参考公式： $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d
临界值表：

P（K²≥k₀） 0.05 0.010 0.001

k₀ 3.841 6.635 10.828

难度：难

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10． 2017年5月14日，第一届“一带一路”国际高峰论坛在北京举行，为了解不同年龄的人对“一带一路”关注程度，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为9：11．

关注不关注合计

青少年 15

中老年

合计 50 50 100

（1）根据已知条件完成上面的2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为关注“一带一路”是否和年龄段有关？
（2）现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取9人进行问卷调查．在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“一带一路”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：参考公式 $K%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ ，其中n=a+b+c+d
临界值表：

P（K²≥K₀） 0.05 0.010 0.001

K₀ 3.841 6.635 10.828

难度：中等

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0/40

进入组卷

平均每天锻炼的时间/分钟	[0，10）	[10，20）	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）
总人数	20	36	44	50	40	10

运动时间（小时）	[0，3）	[3，6）	[6，9）	[9，12）	[12，15）
人数	x	9	8	12	4

	男生	女生	合计
运动爱好者
非运动爱好者
合计

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

	产品质量等级优等	产品质量等级不优等	小计
甲生产线
乙生产线
小计

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.010	0.001
k₀	2.706	3.841	6.635	10.828

	理科	文科
男	13	10
女	7	20

	电子阅读	纸质阅读	合计
青少年
中老年
合计

	关注	不关注	合计
青少年	15
中老年
合计	50	50	100

	关注	不关注	合计
青少年	15
中老年
合计	50	50	100