知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：
x 1 2 3 4 5
y 7.0 6.5 5.5 3.8 2.2
（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程 $%20%5Chat%20y$ = $%20%5Chat%20b$ x- $%20%5Chat%20a$ ；
（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）
参考公式： $%20%5Chat%20b$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D%29-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Chat%20a$ = $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Chat%20b$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ．

难度：较易

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2．随着互联网经济逐步被人们接受，网上购物的人群越来越多，网上交易额也逐年增加，某地一建设银行连续五年的网银交易额统计表，如表所示：
年份x 2012 2013 2014 2015 2016
网上交易额y（亿元） 5 6 7 8 10
经研究发现，年份与网银交易额之间呈线性相关关系，为了计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t=x-2011，z=y-5，得到如表：
时间代号t 1 2 3 4 5
z 0 1 2 3 5
（1）求z关于t的线性回归方程；
（2）通过（1）中的方程，求出y关于x的回归方程；
（3）用所求回归方程预测到2020年年底，该地网银交易额可达多少？
（附：在线性回归方程 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D$ = $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ x+ $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ 中， $b%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20x_%7B%20i%20%7D%5E%7B%202%20%7D-n%28%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ ， $a%3D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D-b%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ）

难度：易

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3．脱贫是政府关注民生的重要任务，了解居民的实际收入状况就显得尤为重要．现从某地区随机抽取100个农户，考察每个农户的年收入与年积蓄的情况进行分析，设第i个农户的年收入x_i（万元），年积蓄y_i（万元），经过数据处理得 $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B100%7Dx_%7Bi%7D%3D500%EF%BC%8C%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B100%7Dy_%7Bi%7D%3D100%EF%BC%8C%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B100%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D%3D1000%EF%BC%8C%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B100%7D%20x_%7B%20i%20%7D%5E%7B%202%20%7D%3D3750$ ．
（Ⅰ）已知家庭的年结余y对年收入x具有线性相关关系，求线性回归方程；
（Ⅱ）若该地区的农户年积蓄在5万以上，即称该农户已达小康生活，请预测农户达到小康生活的最低年收入应为多少万元？
附：在 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D$ = $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ x+ $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ 中， $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7B%20i%20%7D%5E%7B%202%20%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ = $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ，其中 $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%EF%BC%8C%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ 为样本平均值．

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4．某企业为了对生产的一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据：
单价x（元/件） 60 62 64 66 68 70
销量y（件） 91 84 81 75 70 67
（Ⅰ）画出散点图，并求y关于x的回归方程；
（Ⅱ）已知该产品的成本是36元/件，预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，为使企业获得最大利润，该产品的单价应定为多少元（精确到元）？
附：回归直线 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D$ = $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ + $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ x的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ = $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ．

难度：较易

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5．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：

日期	昼夜温差x（℃）	就诊人数y（人）
1月10日	10	22
2月10日	11	25
3月10日	13	29
4月10日	12	26
5月10日	8	16
6月10日	6	12

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程 $%20%5Chat%20y$ =bx+a；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？
（参考公式：b= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7Dy_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7D$ ，a= $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ -b $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ．）

难度：较易

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6．某公司近年来科研费用支出x万元与公司所获得利润y万元之间有如下的统计数据：
x 2 3 4 5
Y 18 27 32 35
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 $%20%5Chat%20y$ = $%20%5Chat%20b$ x+ $%20%5Chat%20a$ ；
（Ⅱ）试根据（2）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润．
参考公式：若变量x和y用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程为： $%20%5Chat%20y$ = $%20%5Chat%20b$ x+ $%20%5Chat%20a$ ，其中： $%20%5Chat%20b$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%28%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Chat%20a$ = $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Chat%20b$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ，参考数值：2×18+3×27+4×32+5×35=420．

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7．某农场所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2017年2月1日至2月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表：

日期	2月1日	2月2日	2月3日	2月4日	2月5日
温差x（°C）	10	11	13	12	8
发芽数x（颗）	23	25	30	26	16

该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的两组数据进行检验．
（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；
（Ⅱ）若选取的是2月1日与2月5日的两组数据，请根据2月2日至2月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程
$%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D$ = $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ x+ $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ ；可以预报当温差为20℃时，种子发芽数．
附：回归直线方程： $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D$ = $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ x+ $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ ，其中 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ； $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ = $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ．

难度：较易

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8．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表：
商店名称 A B C D E
销售额x（千万元） 3 5 6 7 9
利润额y（千万元） 2 3 3 4 5
（Ⅰ）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D$ = $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ x+ $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ ；
（Ⅱ）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．
（注： $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%5Ccdot%20%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%5Ccdot%20%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%5Ccdot%20%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ = $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ）

难度：易

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9．某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年利润y（单位：万元）的影响，对近5年的宣传费x_i和年利润y_i（i=1，2，3，4，5）进行了统计，列出了下表：
x（单位：千元） 2 4 7 17 30
y（单位：万元） 1 2 3 4 5
员工小王和小李分别提供了不同的方案．
（1）小王准备用线性回归模型拟合y与x的关系，请你建立y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；
（2）小李决定选择对数回归模拟拟合y与x的关系，得到了回归方程： $%20%5Chat%20y$ =1.450lnx+0.024，并提供了相关指数R²=0.995，请用相关指数说明选择哪个模型更合适，并预测年宣传费为4万元的年利润（精确到0.01）（小王也提供了他的分析数据 $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B5%7D$ （y_i- $%20%5Chat%20y$ _i）²=1.15）
参考公式：相关指数R²=1- $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28y_%7Bi%7D-%20%5Chat%20y_%7Bi%7D%29%5E%7B2%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%5E%7B2%7D%7D$
回归方程 $%20%5Chat%20y$ = $%20%5Chat%20b$ x+ $%20%5Chat%20a$ 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 $%20%5Chat%20b$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Chat%20a$ = $%20%5Chat%20y$ - $%20%5Chat%20b$ x，参考数据：ln40=3.688， $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B5%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D$ =538．

难度：较易

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10．某种产品广告的支出x与销售收入y（单位：万元）之间有下列所示的对应数据及统计数据．
广告支出x/万元 1 2 3 4
销售收入y/万元 12 28 42 56
$%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B4%7D$ （ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ _i- $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ）² $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B4%7D$ （ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ _i- $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ）（y_i- $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ ）
$%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B2%7D$ $%20%5Cfrac%20%7B69%7D%7B2%7D$ 5 73
$%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Ba%7D$ = $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ - $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Bb%7D$ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$
（1）画出表中数据的散点图；
（2）求出y与x的回归直线方程；
（3）若广告费为9万元，则销售收入约为多少？

难度：易

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0/40

进入组卷

年份x	2012	2013	2014	2015	2016
网上交易额y（亿元）	5	6	7	8	10

单价x（元/件）	60	62	64	66	68	70
销量y（件）	91	84	81	75	70	67

商店名称	A	B	C	D	E
销售额x（千万元）	3	5	6	7	9
利润额y（千万元）	2	3	3	4	5

$%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$	$%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$	$%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B4%7D$ （ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ _i- $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ）²	$%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7B4%7D$ （ $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ _i- $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7Bx%7D$ ）（y_i- $%20%5Coverset%7B%20.%7D%7By%7D$ ）
$%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B2%7D$	$%20%5Cfrac%20%7B69%7D%7B2%7D$	5	73

x	1	2	3	4	5
y	7.0	6.5	5.5	3.8	2.2

时间代号t	1	2	3	4	5
z	0	1	2	3	5

x（单位：千元）	2	4	7	17	30
y（单位：万元）	1	2	3	4	5

广告支出x/万元	1	2	3	4
销售收入y/万元	12	28	42	56