知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示，△ABC中，已知顶点A（3，-1），∠B的内角平分线方程是x-4y+10=0过点C的中线方程为6x+10y-59=0．求顶点B的坐标和直线BC的方程．

难度：较易

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2．已知抛物线y²=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BAF%7D%3D2%20%5Coverrightarrow%20%7BFB%7D$ ，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．

难度：中等

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3．在平面直角坐标系中，有三个点的坐标分别是A（-4，0），B（0，6），C（1，2）．
（1）证明：A，B，C三点不共线；
（2）求过A，B的中点且与直线x+y-2=0平行的直线方程；
（3）设过C且与AB所在的直线垂直的直线为l，求l与两坐标轴围成的三角形的面积．

难度：较易

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4．设椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°， $%20%5Coverrightarrow%20%7BAF%7D%3D2%20%5Coverrightarrow%20%7BFB%7D$ ．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果|AB|= $%20%5Cfrac%20%7B15%7D%7B4%7D$ ，求椭圆C的方程．

难度：较易

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5．求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角θ：C（m，n），D（m，-n）（n≠0）．

难度：易

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6．已知两点A（-3，4），B（3，2），过点P（2，-1）的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率的取值范围．

难度：较易

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7．分别求满足下列条件的直线l的方程：
（1）过点A（0，2），且直线l的倾斜角的正弦值是0.5；
（2）过点A（2，1），且直线l的倾斜角是直线l₁：3x+4y+5=0的倾斜角的一半．

难度：易

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8．若实数x，y满足3x-2y-5=0（1≤x≤3），求 $%20%5Cfrac%20%7By%7D%7Bx%7D$ 的最大值和最小值．

难度：较易

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9．已知点M是离心率是 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%7D%7B3%7D$ 的椭圆C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1$ （a＞b＞0）上一点，过点M作直线MA、MB交椭圆C于A，B两点，且斜率分别为k₁，k₂．
（I）若点A，B关于原点对称，求k₁•k₂的值；
（II）若点M的坐标为（0，1），且k₁+k₂=3，求证：直线AB过定点；并求直线AB的斜率k的取值范围．

难度：较易

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10． P（x₀，y₀）是双曲线E： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞0，b＞0）上一点，M，N分别是双曲线E关于原点对称的两点且两者的横坐标不与|x₀|相等．
（1）求证：直线PM，PN的斜率之积为为定值，并写出这个定值；　
（2）若直线PM，PN的斜率之积为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B5%7D$ ，求双曲线的离心率；
（3）在问题（2）的假定下，过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOC%7D$ =λ $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ ，求λ的值．

难度：中等

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