已知点\({{F}_{1}}\left( -\sqrt{2},0 \right)\)，圆\({{F}_{2}}:{{\left( x-\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=16\)，点\(M\)是圆上一动点，\(M{{F}_{1}}\)的垂直平分线与线段\(M{{F}_{2}}\)交于点\(N\)．

\((1)\)求点\(N\)的轨迹方程；

\((2)\)设点\(N\)的轨迹为曲线\(E\)，过点\(P\left( 0,1 \right)\)且斜率不为\(0\)的直线\(l\)与\(E\)交于\(A,B\)两点，点\(B\)关于\(y\)轴的对称点为\({B}{{{'}}}\)，证明直线\(A{B}{{{'}}}\)过定点，并求\(\Delta PA{B}{{{'}}}\)面积的最大值．

已知椭圆\(C:\dfrac{{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > b > 0 \right)\)的离心率\(e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，两焦点分别为\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\)，右顶点为\(M\)，\(\overrightarrow{M{{F}_{1}}}\cdot \overrightarrow{M{{F}_{2}}}=-2\)．

\((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的标准方程；

\((\)Ⅱ\()\)设过定点\((-2,0)\)的直线\(l\)与双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-{{y}^{2}}=1\)的左支有两个交点，与椭圆\(C\)交于\(A,B\)两点，与圆\(N:{{x}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}=4\)交于\(P,Q\)两点，若\(\Delta MAB\)的面积为\(\dfrac{6}{5}\)，\(\overrightarrow{AB}=\lambda \overrightarrow{PQ}\)，求正数\(\lambda \)的值．

\((1)\)求椭圆方程；

\((2)\)若\(C,D\)分别是椭圆长轴的左右端点，动点\(M\)满足\(MD\bot CD\)，连接\(CM\)，交椭圆于点\(P\)，证明：\(\overrightarrow{OM}\bullet \overrightarrow{OP}\)为定值；

\((3)\)在\((2)\)的条件下，试问\(x\)轴上是否存在异于点\(C\)的定点\(Q\)，使得以\(MP\)为直径的圆恒过直线\(DP,MQ\)的交点？若存在，求出点\(Q\)的坐标；若不存在，请说明理由．

\((2)\)若\(A\)，\(B\)是曲线\(C\)上分别位于点\(Q\)两边的任意两点，过\(A\)，\(B\)分别作曲线\(C\)的切线交于点\(P\)，过点\(Q\)作曲线\(C\)的切线分别交直线\(PA\)，\(PB\)于\(D\)，\(E\)两点\(.\)证明：\(\triangle QAB\)与\(\triangle PDE\)的面积之比为定值．

直线\(y=mx+2m+1\)恒过一定点，此定点为________．

已知椭圆\(C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+ \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\left(a > b > 0\right) \)的离心率为\(\dfrac{ \sqrt{3}}{2} \)，点\(A(1,\dfrac{\sqrt{3}}{2})\)在椭圆\(C\)上．

\((\)Ⅱ\()\)设动直线\(l\)与椭圆\(C\)有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点\(O\)为圆心的圆，满足此圆与\(l\)相交两点\({{P}_{1}}\)，\({{P}_{2}}\)\((\)两点均不在坐标轴上\()\)，且使得直线\(O{{P}_{1}}\)，\(O{{P}_{2}}\) 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．