知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知直线l₁：y=k（x+1）+2，（k∈R）过定点P．
（1）求定点P的坐标；
（2）若直线l₁与直线l₂：3x-（k-2）y+5=0平行，求k的值并求此时两直线间的距离．

难度：较易

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2．已知椭圆的中心在原点，一个长轴的端点为P（0，-2），离心率为 $e%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ ，过点P作斜率为k₁，k₂的直线PA，PB，分别交椭圆于点A，B．
（1）求椭圆的方程；
（2）若k₁•k₂=2，证明直线AB过定点，并求出该定点．

难度：较易

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3．在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，已知点Q（1，2），P是动点，且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bk_%7BOP%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bk_%7BOQ%7D%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bk_%7BPQ%7D%7D$ ．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过F作倾斜角为60°的直线L，交曲线C于A，B两点，求△AOB的面积；
（3）过点D（1，0）任作两条互相垂直的直线l₁，l₂，分别交轨迹C于点A，B和M，N，设线段AB，MN的中点分别为E，F．求证：直线EF恒过一定点．

难度：较易

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4．已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是 k₁，k₂且 $k_%7B1%7D%5Ccdot%20k_%7B2%7D%3D-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N．
①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值
②若直线BM，BN的斜率都存在并满足 $k_%7BBM%7D%5Ccdot%20k_%7BBN%7D%3D-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ，证明直线l过定点，并求出这个定点．

难度：较易

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5．已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，圆C：（x-1）²+（y-1）²=25．
（1）求证：直线l过定点；
（2）当m为何值时，直线l被圆C截得的弦最短．

难度：较易

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6．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）证明：无论m取什么实数，L与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时直线L的斜截式方程．

难度：较易

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7．已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为4，求直线l的方程．

难度：较易

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8．无论k为何值时，直线（k+2）x+（1-k）y-4k-5=0都恒过定点P．求P点的坐标．

难度：易

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9．设已知三条直线l₁：mx-y+m=0，l₂：x+my-m（m+1）=0，l₃：（m+1）x-y+（m+1）=0，它们围成△ABC．
（1）求证：不论m为何值，△ABC有一个顶点为定点；
（2）当m为何值时，△ABC面积有最大值和最小值，并求此最大值与最小值．

难度：中等

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10．设直线l₁：y=k₁x+1，l₂：y=k₂x-1，其中实数k₁，k₂满足k₁k₂+1=0．
（1）证明：直线l₁与l₂相交；
（2）试用解析几何的方法证明：直线l₁与l₂的交点到原点距离为定值；
（3）设原点到l₁与l₂的距离分别为d₁和d₂，求d₁+d₂的最大值．

难度：较易

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