知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知定圆C：x²+（y-3）²=4，定直线m；x+3y+6=0，过A（-1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，
（1）当l与m垂直时，求出N点的坐标，并证明：l过圆心C；
（2）当|PQ|=2
3
时，求直线l的方程．

难度：中等

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2．已知直线l₁：y=2x+3，l₂：y=x+2相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求以点C为圆心，且与直线3x+4y+4=0相切的圆的方程；
（3）若直线x+y+t=0与（2）中的圆C交于A、B两点，求△ABC面积的最大值及实数t的值．

难度：较难

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3．在平面直角坐标系中xOy中，直线x+y+3
2
+1=0与圆C相切，圆心C的坐标为（1，-2）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1圆C没有公共点，求k的取值范围．
（Ⅲ）设直线y=x+m与圆C交于M、N两点，且OM⊥ON，求m的值．

难度：较难

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4．已知圆O：x²+y²=r²（r＞0），与y轴交于M、N两点且M在N的上方．若直线y=2x+
5
与圆O相切．
（1）求实数r的值；
（2）若动点P满足PM=
3
PN，求△PMN面积的最大值．
（3）设圆O上相异两点A、B满足直线MA、MB的斜率之积为
3
3
．试探究直线AB是否经过定点，若经过，请求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

难度：较难

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5．在平面直角坐标系xoy中，已知经过原点O的直线l与圆C：x²+y²-4x-1=0交于A，B两点．
（1）若直线m：ax-2y+a+2=0（a＞0）与圆C相切，切点为B，求直线l的方程；
（2）若OB=2OA，求直线l的方程；
（3）若圆C与x轴的正半轴的交点为D，求△ABD面积的最大值．

难度：较难

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6．已知方程x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；
（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．

难度：较难

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7．已知关于x，y的方程C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）当m为何值时，方程C表示圆．
（2）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且|MN|=
4
5
，求m的值．
（3）在（2）条件下，是否存在直线l：x-2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为
1
5
，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．

难度：较难

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8．已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（-1，0）．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）求点P到直线l的距离的最大值；
（3）设点P在直线l上的射影为点M，N的坐标为（2，1），求线段MN长的取值范围．

难度：中等

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9．已知曲线C：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）当m为何值时，曲线C表示圆；
（2）在（1）的条件下，若曲线C与直线3x+4y-6=0交于M、N两点，且|MN|=3
3
，求m的值；
（3）在（1）的条件下，设直线x-y-1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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10．已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0．
（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；
（Ⅱ）设l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为
AP
PB
=
1
2
，求此时直线l的方程．

难度：较难

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