知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（1）求与双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%3D1$ 共渐近线，且过点（3，4）的双曲线的标准方程；
（2）过椭圆 $M%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 右焦点的直线 $x%2By-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%3D0$ 交M于A，B两点，O为坐标原点，P为AB的中点，且OP的斜率为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，求椭圆M的方程．

难度：较易

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2．已知双曲线C以F₁（-2，0）、F₂（2，0）为焦点，且过点P（7，12）．
（1）求双曲线C与其渐近线的方程；
（2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%E2%8A%A5%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ （O为坐标原点）．求直线l的方程．

难度：中等

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3．如果F₁，F₂分别是双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B16%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D%3D1$ 的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F₁的弦，且|AB|=6，则△ABF₂的周长是 ______ ．

难度：中等

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4．已知双曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y²=8x的焦点相同，且经过点（2，3）．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程和其渐近线方程；
（Ⅱ）设直线l经过点（0，-1），且斜率为k．求直线l与双曲线C有两个公共点时k的取值范围．

难度：较易

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5．若点P（2，0）到双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-y%5E%7B2%7D%3D1%28a%EF%BC%9E0%29$ 的一条渐近线的距离为1，则a= ______ ．

难度：难

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6．（理）已知双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1$ 的左焦点为F₁，左、右顶点为A₁、A₂，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF₁，A₁A₂为直径的两个圆的位置关系为（　　）

A．相交

B．相切

C．相离

D．以上情况都有可能

难度：易

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7．已知双曲线T： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D$ -y²=1，过点B（-2，0）的直线交双曲线T于点A（点A不为双曲线顶点），若AB中点Q在直线y=x上，点P为双曲线T上异于A，B的任意一点且不为双曲线的顶点，直线AP，BP分别交直线y=x于M，N两点，则 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ 的值为（　　）

A．- $%20%5Cfrac%20%7B8%7D%7B3%7D$

B．- $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$

C．- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$

D．-8

难度：较易

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8．已知双曲线x²- $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D$ =1，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为 ______ ．

难度：较易

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9．已知中心在原点，顶点A₁、A₂在x轴上，离心率e= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B21%7D%7D%7B3%7D$ 的双曲线过点P（6，6）．
（1）求双曲线方程．
（2）动直线l经过△A₁PA₂的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l，使G平分线段MN，证明你的结论．

难度：难

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10．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），左顶点为 $%28%20%5Csqrt%20%7B3%7D%EF%BC%8C0%29$ ．
（1）求双曲线C的方程
（2）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，-1），求实数m的取值范围．

难度：中等

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