已知双曲线\(C: \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}\left(a > 0,b > 0\right) \)的右焦点为\(F\)，过\(F\)向双曲线的一条渐近线引垂线垂足为\(M\)，与另一条渐近线于点\(N.\)若\(2 \overrightarrow{MF}= \overrightarrow{FN} \)，则双曲线的离心率为___________________．

双曲线\(C\)：\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{{2}}}=1 (a > 0,b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}(-c,0)\)、\(F_{2}(c,0)\)，\(M\)、\(N\)两点在双曲线\(C\)上，且\(MN/\!/F_{1}F_{2}\)，\(|F_{1}F_{2}|=4|MN|\)，线段\(F_{1}N\)交双曲线\(C\)于点\(Q\)，且\(|F_{1}Q|=|QN|\)，则双曲线\(C\)的离心率为

已知双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)右支上的一点\(P\)，经过点\(P\)的直线与双曲线\(C\)的两条渐近线分别相交于\(A\)，\(B\)两点\(.\)若点\(A\)，\(B\)分别位于第一，四象限，\(O\)为坐标原点\(.\)当\(\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{PB}\)时，\(\triangle AOB\)的面积为\(2b\)，则双曲线\(C\)的实轴长为

已知“若点\(P(x_{0},y_{0})\)在双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)上，则\(C\)在点\(P\)处的切线方程为\(\dfrac{{{x}_{0}}x}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}_{0}}y}{{{b}^{2}}}=1\)，现已知双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-\dfrac{{{y}^{2}}}{12}=1\)和点\(Q(1,t)(t\ne \pm \sqrt{3})\)，过点\(Q\)作双曲线\(C\)的两条切线，切点分别为\(M\)，\(N\)，则直线\(MN\)过定点\((\)    \()\)

已知“若点\(P\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\)在双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > 0,b > 0 \right)\) 上，则\(C\)在点\(P\)处的切线方程为\(\dfrac{{{x}_{0}}x}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}_{0}}y}{{{b}^{2}}}=1\)”，现已知双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{4}-\dfrac{{{y}^{2}}}{12}=1\)和点\(Q\left( 1,t \right)\left( t\ne \pm \sqrt{3} \right)\)，过点\(Q\)作双曲线\(C\)的两条切线，切点分别为\(M\)，\(N\)，则直线\(MN\)过定点\((\)    \()\)

已知双曲线\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\left(a > 0,b > 0\right) \)的右焦点为\(F\)，过点\(F\)向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为\(M\)，交另一条渐近线于点\(N\)，若\({2}\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{FN}\)，则双曲线的离心率为_______________．

\((1)\)已知向量\( \overrightarrow{a}=(2,-1), \overrightarrow{b}=(1,3) \)，且\(\overrightarrow{a}\bot (\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b})\)，则\(m=\)__________．

\((2)\)已知点\(P\left( \sin \dfrac{3}{4}\pi ,\cos \dfrac{3}{4}\pi \right)\)落在角\(\theta \)的终边上，且\(\theta \in \left[ 0,2\pi \right)\)，则\(\tan \left( \theta +\dfrac{\pi }{3} \right)\)的值为___________．

\((3)\)已知三棱锥\(S-ABC\)的所有顶点都在以\(O\)为球心的球面上，\(\Delta ABC\)是边长为\(1\)的正三角形，\(SC\)为球\(O\)的直径，若三棱锥\(S-ABC\)的体积为\(\dfrac{\sqrt{11}}{6}\)，则球\(O\)的表面积为___________\(.\)　

\((4)\)已知\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\)为双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > 0,b > 0 \right)\)的左、右焦点，\(O\)为坐标原点，点\(P\)在双曲线的左支上，点\(M\)在直线\(x=\dfrac{{{a}^{2}}}{c}\left( c=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)\)上，且满足\(\overrightarrow{{{F}_{1}}O}=\overrightarrow{PM},\overrightarrow{OP}=\lambda \left( \dfrac{\overrightarrow{O{{F}_{1}}}}{\overrightarrow{\left| O{{F}_{1}} \right|}}+\dfrac{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{\left| OM \right|}} \right)\left( \lambda > 0 \right)\)，则该双曲线的离心率为__________．