知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数\(f(x)=\dfrac{{e}^{x}}{x} +a(x-\ln x).(e\)为自然对数的底数\()\)
\((\)Ⅰ\()\)当\(a > 0\)时，试求 \(f(x)\)的单调区间；
\((\)Ⅱ\()\)若函数\(f(x)\)在\(x∈(\dfrac{1}{2} ,2)\)上有三个不同的极值点，求实数\(a\)的取值范围．
已知双曲线\(\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 \) \((a > 0,b > 0)\)的右焦点为\(F(c,0)\)．
\((1)\)若双曲线的一条渐近线方程为\(y=x\)且\(c=2\)，求双曲线的方程；

\((2)\)以原点\(O\)为圆心，\(c\)为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为\(A\)，过\(A\)作圆的切线，斜率为\(-\)\(\sqrt{3} \)，求双曲线的离心率．

难度：难

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2．
已知斜率为\(2\)的直线\(l\)与双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{3}-\dfrac{{{y}^{2}}}{2}=1\)相交于\(A\)、\(B\)两点，若\(|AB|=\sqrt{6}\)，求直线\(l\)的方程．

难度：中等

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3．
已知\(P\)是焦距为\(4\sqrt{2}\)的双曲线\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > 0,b > 0 \right)\)上一点，过\(P\)的直线与双曲线\(C\)的两条渐近线分别交于点\({{P}_{1}}\)，\({{P}_{2}}\)，且\(3\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{O{{P}_{1}}}+2\overrightarrow{O{{P}_{2}}}\)，\(O\)为坐标原点．

\((\)Ⅰ\()\)设\({{P}_{1}}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)\)，\({{P}_{2}}\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)\)，证明：\({{x}_{1}}{{x}_{2}}-{{y}_{1}}{{y}_{2}}=9\)；

\((\)Ⅱ\()\)试求当\(\Delta O{{P}_{1}}{{P}_{2}}\)面积取得最大值时双曲线的方程．

难度：难

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4．
设 \(A\)， \(B\)分别为双曲线\( \dfrac{x^2 }{a^2 }- \dfrac{y^2 }{b^2 }=1( \)\(a\)\( > 0\)， \(b\)\( > 0)\)的左、右顶点，双曲线的实轴长为\(4 \sqrt{3}\)，焦点到渐近线的距离为\( \sqrt{3}\)．
\((1)\)求双曲线的方程；

\((2)\)已知直线\(y\)\(= \dfrac{ \sqrt{3}}{3}\)\(x\)\(-2\)与双曲线的右支交于\(M\)、\(N\)两点，且在双曲线的右支上存在点\(D\)，使\(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\)\(t\)\(\overrightarrow{OD}\)，求\(t\)的值及点\(D\)的坐标．

难度：较难

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5．

\((1)\)等比数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{5}=8\)，则\(a_{3}=\)__________．

\((2)\)曲线\(f(x)=x\ln x\)在点\(P(1,0)\)处的切线\(l\)与两坐标轴围成的三角形的面积是__________．

\((3)\)已知实数\(x\)、\(y\)满足不等式组\(\begin{cases}\begin{matrix}x\leqslant 1 \\ x-y+{m}^{2}\geqslant 0\end{matrix} \\ x+y-1\geqslant 0\end{cases} \)若目标函数\(z=-2x+y\)的最大值不超过\(4\)，则实数\(m\)的取值范围是__________．

\((4)\)已知点\(P\)是双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{a}-\dfrac{{{y}^{2}}}{3a}=1(a > 0)\)右支上任意一点，由\(P\)点向两条渐近线引垂线，垂足分别为\(E\)、\(F\)，若\(\triangle PEF\)的面积为\(\dfrac{{3}\sqrt{{3}}}{{8}}\)，则\(a\)的值为__________．

难度：较易

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6．

若直线\(y=kx+2\)与曲线\(x=\sqrt{{{y}^{2}}+6}\)交于不同的两点，那么\(k\)的取值范围是

A．\(\left(- \dfrac{ \sqrt{15}}{3}, \dfrac{ \sqrt{15}}{3}\right) \)

B．\(\left(0, \dfrac{ \sqrt{15}}{3}\right) \)

C．\(\left(- \dfrac{ \sqrt{15}}{3},0\right) \)

D．\(\left(- \dfrac{ \sqrt{15}}{3},-1\right) \)

难度：较难

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7．

已知双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > 0,b > 0 \right)\)的离心率为\(\sqrt{2}\)，过左焦点\({{F}_{1}}\left( -c,0 \right)\)作圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{a}^{2}}\)的切线，切点为\(E\)，延长\({{F}_{1}}E\)交抛物线\({{y}^{2}}=4cx\)于点\(P\)，则线段\(PE\)的长为：

A．\(a\)

B．\(2a\)

C．\(\left( 1+\sqrt{3} \right)a\)

D．\(3a\)

难度：难

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8．

直线\(y{=}{kx}{+}2\)与双曲线\(x^{2}{-}y^{2}{=}2\)有且只有一个交点，那么实数\(k\)的值是\((\)　　\()\)

A．\(k{=±}1\)

B．\(k{=±}\sqrt{3}\)或\(k{=±}\sqrt{2}\)

C．\(k{=±}1\)或\(k{=±}\sqrt{3}\)

D．\(k{=±}\sqrt{2}\)

难度：较易

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9．
双曲线\(C\)的一条渐近线方程是\(x-2y=0\)，且双曲线\(C\)过点\((2\sqrt{2},1)\)．

\((1)\)求双曲线\(C\)的方程\(;\)

\((2)\)设双曲线\(C\)的左、右顶点分别是\(A_{1}\)，\(A_{2}\)，\(P\)为\(C\)上任意一点，直线\(PA_{1}\)，\(PA_{2}\)分别与直线\(l:x=1\)交于\(M\)，\(N\)，求\(|MN|\)的最小值．

难度：较难

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10．

双曲线\(C\)：\({{x}^{2}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{3}=1\)的左顶点为\(A\)，右焦点为\(F\)，过点\(F\)作一条直线与双曲线\(C\)的右支交于点\(P\)，\(Q\)，连接\(PA\)，\(QA\)分别与直线\(l\)：\(x=\dfrac{1}{2}\)交于点\(M\)，\(N\)，则\(∠MFN=\)

A．\(\dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!{ }}{6}\)

B．\(\dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!{ }}{3}\)

C．\(\dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!{ }}{2}\)

D．\(\dfrac{2\mathrm{ }\!\!\pi\!\!{ }}{3}\)

难度：中等

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