知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．过双曲线 $x%5E%7B2%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%3D1$ 的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）当P坐标为（x₀，2）时，求直线l的方程；
（3）求证：|OA|•|OB|是一个定值．

难度：较易

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2．已知双曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（b＞a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A，B两点，使 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ =0，则双曲线离心率的取值范围是 ______ ．

难度：难

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3．已知双曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞0．b＞0）的离心率为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，虚轴端点与焦点的距离为 $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值．

难度：难

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4．直线l与双曲线x²-4y²=4相交于A、B两点，若点P（4，1）为线段AB的中点，则直线l的方程是 ______ ．

难度：较易

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5．已知F₁，F₂分别是双曲线 $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%8Cb%EF%BC%9E0%29$ 的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F₁F₂为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

A．（1，2）

B．（2，+∞）

C． $%281%EF%BC%8C%C2%A0%20%5Csqrt%20%7B2%7D%29$

D． $%28%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C%C2%A0%2B%E2%88%9E%29$

难度：中等

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6．设双曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B3%7D%3D1$ ，F₁，F₂为其左右两个焦点．
（1）设O为坐标原点，M为双曲线C右支上任意一点，求 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BF_%7B1%7DM%7D$ 的取值范围；
（2）若动点P与双曲线C的两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值，且cos∠F₁PF₂的最小值为 $-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B9%7D$ ，求动点P的轨迹方程．

难度：较难

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7．过双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9E0%EF%BC%8Cb%EF%BC%9E0%29$ 的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（　　）

A． $%281%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B2%7D%29$

B． $%28%20%5Csqrt%20%7B5%7D%EF%BC%8C%2B%E2%88%9E%29$

C． $%28%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B2%7D%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B5%7D%29$

D． $%281%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B2%7D%29%E2%88%AA%28%20%5Csqrt%20%7B5%7D%EF%BC%8C%2B%E2%88%9E%29$

难度：较易

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8．设双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9E0%EF%BC%8Cb%EF%BC%9E0%29$ 的右顶点为A，P为双曲线上的一个动点（不是顶点），若从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q、R两点，其中O为坐标原点，则|OP|²与|OQ|•|OR|的大小关系为|OP|²______ |OQ|•|OR|．（填“＞”，“＜”或“=”）

难度：较易

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9．双曲线Γ中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，又Γ的实轴长为4，且一条渐近线为y=2x，求双曲线Γ的标准方程．

难度：较易

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10．已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x²-2y²=1总有公共点，试求实数k的取值范围．

难度：较易

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