知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．某校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”．其中AC，BD是过抛物线y=x²的两条相互垂直的弦（点A，B在第二象限），且AC，BD交于点 $F%280%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D%29$ ，点E为y轴上的一点，记∠EFA=α，其中α为锐角：
（1）设线段AF的长为m，将m表示为关于α的函数；
（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小．

难度：较易

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2．设A，B为曲线C：y= $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D$ 上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

难度：较易

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3．直线y=x-1被抛物线y²=4x截得线段的中点坐标是 ______ ．

难度：较易

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4．点P到点 $A%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%EF%BC%8C%C2%A00%29%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A0B%28a%EF%BC%8C%C2%A02%29$ 及到直线 $x%3D-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$

B． $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$

C． $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%5Ctext%7B%E6%88%96%7D%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$

D． $-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%5Ctext%7B%E6%88%96%7D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$

难度：较难

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5．已知平面内一动点M到点F（1，0）距离比到直线x=-3的距离小2．设动点M的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点F的直线l与曲线C交于A、B两点，过点B作直线：x=-1的垂线，垂足为D，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
求证：①x₁•x₂=1，y₁•y₂=-4； ②A、O、D三点共线（O为坐标原点）．

难度：较易

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6．如图，M是抛物线上y²=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．

难度：较难

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7．过抛物线y²=4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点．
（1）求AB的中点C到抛物线准线的距离；
（2）求线段AB的长．

难度：较易

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8．在平面直角坐标系中，已知点P（1，-1），过点P作抛物线T₀：y=x²的切线，其切点分别为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求x₁与x₂的值；
（Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线MN相切，求圆E的面积；
（Ⅲ）过原点O（0，0）作圆E的两条互相垂直的弦AC，BD，求四边形ABCD面积的最大值．

难度：中等

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9．在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y²=4x相交于不同的A、B两点．
（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ 的值；
（Ⅱ）如果 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ =-4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

难度：中等

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10．已知抛物线C：x²=4y，直线l：y=-1．PA、PB为曲线C的两切线，切点为A，B．令甲：若P在l上，乙：PA⊥PB；则甲是乙（　　）条件

A．充要

B．充分不必要

C．必要不充分

D．既不充分也不必要

难度：难

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