知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•扬州一模）如图，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂，P是椭圆上一点，M在PF₁上，且满足
F1M
=λ
MP
（λ∈R），PO⊥F₂M，O为坐标原点．
（1）若椭圆方程为
x2
8
+
y2
4
=1，且P（2，
2
），求点M的横坐标；
（2）若λ=2，求椭圆离心率e的取值范围．

难度：中等

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2．已知椭圆方程
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0）的左右顶点为A，B，右焦点为F，若椭圆上的点到焦点F的最大距离为3，且离心率为方程2x²-5x+2=0的根，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点P为椭圆上任一点，连接AP，PB并分别延长交直线l：x=4于M，N两点，求线段MN的最小值．

难度：中等

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3．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l过椭圆的左顶点A，且与椭圆相交于另一点B．
（i）若|AB|=
4
2
5
，求直线l的倾斜角；
（ii）若点Q（0，y₀）在线段AB的垂直平分线上，且
QA
•
QB
=4，求y₀的值．

难度：较难

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4．求椭圆
x2
64
+
y2
36
=1的长轴长、短轴长、顶点坐标、离心率．

难度：中等

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5．已知椭圆的焦距为6，离心率e=
3
5
，求椭圆的标准方程．

难度：较难

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6．已知A（0，-1）是焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点，F是椭圆C的右焦点，直线AF与椭圆C的另一个交点为B，满足|AF|=5|FB|．以D（-1，1）为圆心的⊙D与椭圆C交于M，N两点，满足|AM|=|AN|．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求圆心D到直线MN的距离d的值．

难度：较难

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7．椭圆

=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，弦AB过F₁，若△ABF₂的内切圆周长为4，A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则|y₂-y₁|的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

难度：较难

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8．离心率为
5
5
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆C交于相异两点M，N，且
OM
•
ON
=-
31
9
，求直线l的方程．

难度：中等

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9．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），左焦点F（-
3
，0），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m与椭圆C交于不同的两点M，N（M，N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A．求直线l的方程．

难度：较难

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10．已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，现有椭圆上一点M到两焦点的距离之和为20，且|MF₁|、|F₁F₂|、|MF₂|成等差数列，试求该椭圆的标准方程．

难度：中等

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