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          共50条信息

            • 1．
              若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为\(18\)，一个焦点的坐标是\((3,0)\)，则椭圆的标准方程为\((\)　　\()\)
              A．\( \dfrac {x^{2}}{9}+ \dfrac {y^{2}}{16}=1\)
              B．\( \dfrac {x^{2}}{25}+ \dfrac {y^{2}}{16}=1\)
              C．\( \dfrac {x^{2}}{16}+ \dfrac {y^{2}}{25}=1\)
              D．\( \dfrac {x^{2}}{16}+ \dfrac {y^{2}}{9}=1\)
              难度：较易
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            • 2．
              已知椭圆的一个顶点为\(A(0,-1)\)，焦点在\(x\)轴上\(.\)若右焦点到直线\(x-y+2 \sqrt {2}=0\)的距离为\(3\)．
              \((1)\)求椭圆的方程；
              \((2)\)设椭圆与直线\(y=kx+m(k\neq 0)\)相交于不同的两点\(M\)、\(N.\)当\(|AM|=|AN|\)时，求\(m\)的取值范围．
              难度：较难
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            • 3．
              设椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的右焦点与抛物线\(y^{2}=16x\)的焦点相同，离心率为\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，则此椭圆的方程为 ______ ．
              难度：较易
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            • 4．
              已知椭圆\(E\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac {1}{2}\)，以椭圆的短轴为直径的圆与直线\(x-y+ \sqrt {6}=0\)相切．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(E\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)设椭圆过右焦点\(F\)的弦为\(AB\)、过原点的弦为\(CD\)，若\(CD/\!/AB\)，求证：\( \dfrac {|CD|^{2}}{|AB|^{2}}\)为定值．
              难度：较易
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            • 5．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左右顶点分别为\(A_{1}\)，\(A_{2}\)，左右焦点为分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，焦距为\(2\)，离心率为\( \dfrac {1}{2}\)．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)若\(P\)为椭圆上一动点，直线\(l_{1}\)过点\(A_{1}\)且与\(x\)轴垂直，\(M\)为直线\(A_{2}P\)与\(l_{1}\)的交点，\(N\)为直线\(A_{1}P\)与直线\(MF_{2}\)的交点，求证：点\(N\)在一个定圆上．
              难度：较易
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            • 6．
              已知椭圆\(C\)中心在原点，离心率\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，其右焦点是圆\(E\)：\((x-1)^{2}+y^{2}=1\)的圆心．
              \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程；
              \((2)\)如图，过椭圆\(C\)上且位于\(y\)轴左侧的一点\(P\)作圆\(E\)的两条切线，分别交\(y\)轴于点\(M\)、\(N.\)试推断是否存在点\(P\)，使\(|MN|= \dfrac { \sqrt {14}}{3}\)？若存在，求出点\(P\)的坐标；若不存在，请说明理由．
              难度：较易
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            • 7．
              已知椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，过点\(A(0,-b)\)和\(B(a,0)\)的直线与原点的距离为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)．
              \((1)\)求椭圆的方程；
              \((2)\)已知定点\(E(-1,0)\)，若直线\(y=kx+2(k\neq 0)\)与椭圆交于\(C\)、\(D\)两点，问：是否存在\(k\)的值，使以\(CD\)为直径的圆过\(E\)点？请说明理由．
              难度：难
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            • 8．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)，其中\(F_{1}\)，\(F_{2}\)为左、右焦点，且离心率\(e= \dfrac { \sqrt {3}}{3}\)，直线\(l\)与椭圆交于两不同点\(P(x_{1},y_{1})\)，\(Q(x_{2},y_{2}).\)当直线\(l\)过椭圆\(C\)右焦点\(F_{2}\)且倾斜角为\( \dfrac {π}{4}\)时，原点\(O\)到直线\(l\)的距离为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)．
              \((I)\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((II)\)若\( \overrightarrow{OP}+ \overrightarrow{OQ}= \overrightarrow{ON}\)，当\(\triangle OPQ\)面积为\( \dfrac { \sqrt {6}}{2}\)时，求\(| \overrightarrow{ON}|⋅| \overrightarrow{PQ}|\)的最大值．
              难度：中等
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            • 9．
              已知椭圆\(C：\;\; \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1\;\;(a > b > 0)\)的离心率为\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)，且经过点\(( \dfrac {3}{2}, \dfrac {1}{2})\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)过点\(P(0,2)\)的直线交椭圆\(C\)于\(A\)，\(B\)两点，求\(\triangle AOB(O\)为原点\()\)面积的最大值．
              难度：难
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            • 10．
              已知椭圆\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}\)，\(F_{2}\)，且离心率为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，\(M\)为椭圆上任意一点，当\(∠F_{1}MF_{2}=90^{\circ}\)时，\(\triangle F_{1}MF_{2}\)的面积为\(1\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求椭圆\(C\)的方程；
              \((\)Ⅱ\()\)已知点\(A\)是椭圆\(C\)上异于椭圆顶点的一点，延长直线\(AF_{1}\)，\(AF_{2}\)分别与椭圆交于点\(B\)，\(D\)，设直线\(BD\)的斜率为\(k_{1}\)，直线\(OA\)的斜率为\(k_{2}\)，求证：\(k_{1}⋅k_{2}\)为定值．
              难度：较易
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