知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，在直三棱柱$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$2AC=AA_{1}=BC=2.$若二面角$B_{1}-DC-C_{1}$的大小为$60^{\circ}$，则$AD$的长为__________．

难度：较难

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2．已知矩形ABCD的两边AB=3，AD=4，PA⊥平面ABCD，且PA= $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B5%7D$ ，则二面角A-BD-P的正切值为______．

难度：较易

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3．如图，正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，则下列四个命题：
$①P$在直线$BC_{1}$上运动时，三棱锥$A-D_{1}PC$的体积不变；
$②P$在直线$BC_{1}$上运动时，直线$AP$与平面$ACD_{1}$所成角的大小不变；
$③P$在直线$BC_{1}$上运动时，二面角$P-AD_{1}-C$的大小不变；
$④M$是平面$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$上到点$D$和$C_{1}$距离相等的点，则$M$点的轨迹是过$D_{1}$点的直线，其中真命题的编号是 ______ $.($写出所有真命题的编号$)$

难度：难

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4．
如图，平面$α$与平面$β$相交成锐角$θ$，平面$α$内的一个圆在平面$β$上的射影是离心率为$ \dfrac {1}{2}$的椭圆，则角$θ$等于 ______ ．

难度：较难

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5．
如图，$ABCD$是边长为$3$的正方形，$DE⊥$平面$ABCD$，$AF/\!/DE$，$DE=3AF$，$BE$与平面$ABCD$所成角为$60^{\circ}$．
$($Ⅰ$)$求证：$AC⊥$平面$BDE$；
$($Ⅱ$)$求二面角$F-BE-D$的余弦值；
$($Ⅲ$)$设点$M$是线段$BD$上一个动点，试确定点$M$的位置，使得$AM/\!/$平面$BEF$，并证明你的结论．

难度：较易

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6．
正三棱锥$P-ABC$中，$CM=2PM$，$CN=2NB$，对于以下结论：
$①$二面角$B-PA-C$大小的取值范围是$( \dfrac {π}{3},π)$；
$②$若$MN⊥AM$，则$PC$与平面$PAB$所成角的大小为$ \dfrac {π}{2}$；
$③$过点$M$与异面直线$PA$和$BC$都成$ \dfrac {π}{4}$的直线有$3$条；
$④$若二面角$B-PA-C$大小为$ \dfrac {2π}{3}$，则过点$N$与平面$PAC$和平面$PAB$都成$ \dfrac {π}{6}$的直线有$3$条$.$
正确的序号是 ______ ．

难度：中等

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7．
如图，将菱形$ABCD$沿对角线$BD$折起，使得$C$点至$C′$，$E$点在线段$AC′$上，若二面角$A-BD-E$与二面角$E-BD-C′$的大小分别为$15^{\circ}$和$30^{\circ}$，则$ \dfrac {AE}{EC{{'}}}=$ ______ ．

难度：难

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8．
如图，二面角$α-l-β$的大小是$60^{\circ}$，线段$AB⊂α.B∈l$，$AB$与$l$所成的角为$30^{\circ}.$则$AB$与平面$β$所成的角的正弦值是 ______ ．

难度：较难

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9．
将正方形$ABCD$沿对角线$BD$折成直二面角$A-BD-C$，有如下四个结论：
$①AC⊥BD$；
$②\triangle ACD$是等边三角形；
$③AB$与平面$BCD$成$60^{\circ}$的角；
$④AB$与$CD$所成的角为$60^{\circ}$；
其中正确结论是 ______ $($写出所有正确结论的序号$)$

难度：难

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10．
如图，$P$是二面角$α-AB-β$棱$AB$上的一点，分别在$α$，$β$上引射线$PM$，$PN$，如果$∠BPM=∠BPN=45^{\circ}$，$∠MPN=60^{\circ}$，那么二面角$α-AB-β$的大小是 ______ ．

难度：较难

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