知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：OE∥平面PDC；
（Ⅲ）求面PAD与面PBC所成角的大小．

难度：较易

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2．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在线段PC上是否存在点M，使二面角M-BQ-C的大小为60°．若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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3．如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°．
（1）证明：BD⊥AA₁；
（2）求二面角A₁-C₁D-B的平面角的余弦值．

难度：较易

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4．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD= $%20%5Csqrt%20%7B10%7D$ ．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若二面角A-PC-D的大小为60°，求AP的值．

难度：较易

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5．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ．
（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥C-ADE体积最大时，求二面角D-AE-B的余弦值．

难度：较易

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6．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．

（Ⅰ）求证AD⊥BM；
（Ⅱ）点E是线段DB上的一动点，当二面角E-AM-D大小为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ 时，试确定点E的位置．

难度：较易

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7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B=B₁A=AB=BC，∠B₁BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B₁D．
（Ⅰ）求证：平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线B₁D与平面ACC₁A₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角B-B₁D-C的余弦值．

难度：较易

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8．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点．
（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；
（Ⅱ）设PA=k•AB，且二面角E-BD-C的平面角大于45°，求k的取值范围．

难度：中等

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9．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱D₁D的中点，点F在棱B₁B上，且满足B₁F=2FB．
（1）求证：EF⊥A₁C₁；
（2）在棱C₁C上确定一点G，使A，E，G，F四点共面，并求此时C₁G的长；
（3）求平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值．

难度：较易

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10．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD= $%20%5Csqrt%20%7B3%7D%EF%BC%8CEF%3D2$ ．
（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？

难度：中等

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