知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA⊥CB，CA=CB=1，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．
（1）求证：C₁N⊥平面BCN；
（2）求直线B₁C与平面C₁MN所成角θ的正弦值．

难度：中等

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2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点
（1）求证：EF⊥CD；
（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；
（3）求DB与平面DEF所成角的正弦值．

难度：中等

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3．（理科做）如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠DBC=90°，BC=BD=2，AB=1，则BC和平面ACD所成角的
正弦值为．

难度：中等

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4．（2013秋•湖南校级月考）已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a．则直线CD与平面AB₁D₁所成的角的余弦值为．

难度：中等

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5．在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，AB=2，∠DAB=60°，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD为正三角形，E为AD中点，M为线段PC上的一点．
（1）若M为PC中点，求证：ME∥平面PAB；
（2）若二面角M-EB-C的平面角为60°，求直线AB与平面MEB所成角的余弦值．

难度：中等

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6．如图所示，在棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4且AB∥CD，∠BAD=90°
（Ⅰ）求证：BC⊥PC；
（Ⅱ）求PB与平面PAC所成角的正弦值．

难度：中等

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7．四棱锥P-ABCD底面是平行四边形，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=AB=
1
2
AD，∠BAD=60°，E为PB的中点．
（1）求证：AE⊥面PBD．
（2）设点M为线段PD上一点，且直线CM与平面PAD所成角的正弦值为
6
5
，求
PM
PD
的值．

难度：中等

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8．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=4，AB=2，点M是PD中点．
（1）求证：PB∥平面ACM；
（2）求直线CD与平面ACM所成角的正弦值．

难度：中等

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9．如图，在长方体AC中，AB=BC=2，AA₁=
2
，E、F分别是面A₁C₁，面BC₁的中心，求：
（1）AF和BE所成的角．
（2）AA₁与平面BEC₁所成角的正弦值．

难度：中等

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10．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC，F为BB₁上一点，BF=BC=2，FB₁=1，D为BC中点，E为线段AD上不同于点A、D的任意一点．
（Ⅰ）证明：EF⊥FC₁；
（Ⅱ）若AB=
2
，是否存在E满足EF与平面FA₁C₁所成的角为arcsin
30
6
？请说明理由．

难度：中等

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