知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•河东区一模）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD=O，△PAC是边长为2的等边三角形，PB=PD=
6
，AP=4AF．
（Ⅰ）求证：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求直线CP与平面BDF所成角的大小；
（Ⅲ）在线段PB上是否存在一点M，使得CM∥平面BDF？如果存在，求
BM
BP
的值，如果不存在，请说明理由．

难度：较易

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2．如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面ACC₁A₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2
3
，AA1⊥A1C，AA1=A1C．
（1）求侧棱AA₁与底面ABC所成的角；
（2）求顶点C到平面A₁ABB₁的距离．

难度：较难

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3．（2015秋•重庆校级期中）如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥面ADC₁；
（2）求直线B₁C₁与平面ADC₁所成角的余弦值．

难度：中等

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4．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为棱CC₁的中点．
（1）求AD₁与DB所成角的大小；
（2）求AE与平面ABCD所成角的正弦值．

难度：中等

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5．（2015秋•余干县校级期末）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线PC与平面ABM所成的角的正弦值．

难度：较难

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6．如图，已知AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=BC=4，△BEC为等边三角形，
（1）若平面ABE⊥平面ADE，求CD长度；
（2）求直线AB与平面ADE所成角的取值范围．

难度：中等

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7．在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，SA=AB=AD=
1
3
BC=1，E为SD的中点．
（1）若F为线段BC上一点，且BF=
1
6
BC，求证：EF∥平面SAB；
（2）在线段BC上是否存在一点G，使得直线EG与平面SBC所成角的正弦值为
7
14
？若存在，求出BG的长度，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=1，AA₁=
2
，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，CO⊥侧面ABB₁A₁．
（Ⅰ）证明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若OC=OA，求直线C₁D与平面ABC所成角的正弦值．

难度：中等

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9．已知四边形ABCD是菱形，其对角线AC=4，BD=2，直线AE，CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=4．
（1）求证：平面EBD⊥平面FBD；
（2）求直线AB与平面EAD所成角的正弦值；
（3）求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共部分的体积．

难度：中等

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10．在如图的几何体中，平面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（1）求证：AC⊥平面FBC；
（2）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．

难度：中等

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