知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAA₁=∠DAA₁=∠BAD=60°，且所有棱长均为2，则对角线AC₁的长为．

难度：中等

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2．（2015秋•和平区期末）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，点E是BC的中点．
（Ⅰ）求线段DE的长；
（Ⅱ）求直线A₁E与平面ADD₁A₁所成角的正弦值．

难度：中等

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3．如图，在正方形AG₁G₂G₃中，点B，C分别是G₁G₂，G₂G₃的中点，点E，F分别是G₃C，AC的中点，现在沿AB，BC及AC把这个正方形折成一个四面体，使G₁，G₂，G₃三点重合，重合后记为G．
（I）判断在四面体GABC的四个面中，哪些面的三角形是直角三角形，若是直角三角形，写出其直角（只需写出结论）；
（Ⅱ）求证：AG⊥BC
（Ⅲ）请在四面体GABC的直观图中标出点E，F，求证：平面EFB⊥平面GBC．

难度：中等

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4．四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁各棱长均为1，∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60°，则点B与点D₁两点间的距离为．

难度：中等

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5．

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是线段AB，CC₁的中点，∨MB₁P的顶点P在棱CC₁与棱C₁D₁上运动，有以下四个命题：
①平面MB₁P⊥ND₁
②平面MB₁P⊥平面ND₁A₁
③∨MB₁P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；
④△MB₁P在侧面DD₁C₁C上的射影图形是三角形．
其中正确的命题序号是（　　）

A．①

B．①③

C．②③

D．②④

难度：中等

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6．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB，AD，AA₁，上分别各取异于端点的一点E，F，M，则△MEF是（　　）

A．钝角三角形

B．锐角三角形

C．直角三角形

D．不能确定

难度：较易

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7．

如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，线段B₁D₁上有两个动点E、F，且EF=1，则下列结论中错误的是（　　）

A．EF∥平面ABCD

B．AC⊥BE

C．三棱锥A-BEF体积为定值

D．△BEF与△AEF面积相等

难度：中等

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8．（2015秋•淄博校级期末）如图所示的平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D中，AB=AD=AA₁=1，∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，则CA₁的长= ．

难度：中等

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9．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2，BB₁=3，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点．
（1）求直线BE与A₁C所成角的余弦值．
（2）在线段AA₁上是否存在点F，使CF⊥平面B₁DF，若存在，求出|AF|，若不存在，说明理由．

难度：较难

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10．在下列命题中：
①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；
②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；
③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；
④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等．
其中真命题的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

难度：较难

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