知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•章丘市二模）在如图所示的几何体中，四边形BB₁C₁C是矩形，BB₁⊥平面ABC，A₁B₁∥AB，AB=2A₁B₁，E是AC的中点．
（1）求证：A₁E∥平面BB₁C₁C；
（2）若AC=BC，AB=2BB₁，求证：平面BEA₁⊥平面AA₁C₁．

难度：中等

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2．（2016•衡阳校级一模）已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB=2，DC=3，E为AB的中点，将四边形AEFD沿EF折起使面AEFD⊥面EBCF，过E作EF∥AD，
（1）若G为DF的中点，求证：EG∥面BCD；
（2）若AD=2，试求多面体AD-BCFE体积．

难度：中等

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3．（2016•资阳三模）如图，在三棱锥P-AMC中，AC=AM=PM=2，PM⊥面AMC，AM⊥AC，B，D分别为CM，AC的中点．
（Ⅰ）在PC上确定一点E，使得直线PM∥平面ABE，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，连接AE，与PD相交于点N，求三棱锥B-ADN的体积．

难度：中等

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4．（2016春•盐城校级期中）如图，四边形ABCD、ADEF为正方形，G，H是DF，FC的中点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）求证：BC⊥平面CDE．

难度：较易

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5．（2016•成都模拟）在三棱柱ABC-A₁B_lC₁中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB₁的中点，M为AC上一点，AM=
2
3
AC．
（I）若三棱锥A₁-C₁ME的体积为
2
6
，求AA₁的长；
（Ⅱ）证明：CB₁∥平面A₁EM．

难度：较易

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6．（2016春•宁远县校级期中）如图，已知四棱锥P-ABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）若PA与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积V．

难度：较易

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7．如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=
1
2
AD=2，∠A=60°，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点．将△ABE沿BE折起到△A₁BE的位置，使得平面A₁BE⊥平面BCDE（如图2）．
（Ⅰ）求证：A₁O⊥CE；
（Ⅱ）求直线A₁B与平面A₁CE所成角的正弦值；
（Ⅲ）侧棱A₁C上是否存在点P，使得BP∥平面A₁OF？若存在，求出
A1P
A1C
的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．（2016•江西模拟）如图，已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA₁=6，且A₁A⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD₁，BC上，BQ=4．
（1）若DP=
2
3
DD₁，证明：PQ∥平面ABB₁A₁；
（2）若P是D₁D的中点，证明：AB₁⊥平面PBC．

难度：中等

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9．（2016•南通模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，且AD=2BC，AD⊥CD，PA=PD，M为棱AD的中点．
（1）求证：CD∥平面PBM；
（2）求证：平面PAD⊥平面PBM．

难度：中等

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10．（2016•宁波校级模拟）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，M分别为CC₁和A₁B的中点，A₁D⊥CC₁，侧面ABB₁A₁为菱形且∠BAA₁=60°，AA₁=A₁D=2，BC=1，
（Ⅰ）证明：直线MD∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B-AC-A₁的余弦值．

难度：较难

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